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Arbeitsatz - totales Differential

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

NEPH1L1M aktiv_icon

13:27 Uhr, 29.04.2013

Hallo,

ich hätte eine Frage zu der Aussage auf dem beigefügten Bild ganz unten(leider etwas abgeschnitten)
" Das Integral ist nur dann wegunabhängig, wenn der Integrand ein vollständiges(totales) Differential ist "

W = \int_{0}^{1}

F*dr

= \int_{0}^{1} {F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z}

Frage: Wieso ist ein Integral wegunabhängig wenn der Integrand ein totales Differential ist ?

Vielen Dank für eure Mithilfe.

V . l . G

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

NEPH1L1M aktiv_icon

17:23 Uhr, 29.04.2013

~ \cdot ~

push

~ \cdot ~

:-)

NEPH1L1M aktiv_icon

20:08 Uhr, 30.04.2013

Niemand einen Tip?

pleindespoir aktiv_icon

01:48 Uhr, 02.05.2013

vielleicht liegts an dem trüben Scan ...

NEPH1L1M aktiv_icon

13:23 Uhr, 02.05.2013

Wieso ? Klick darauf und schon sieht man es doch in guter Qualität

o_{O}

lepton

20:39 Uhr, 02.05.2013

Das was im Integranden steht, ist das Skalarprodukt aus der infinitesimalen Wegänderung in allen drei Raumrichtungen und der auf das Teilchen auf der Kurve C im Raum wirkende Kraft F. Wir reden doch hier von konservativen Kräften, also Kräften die sich als Gradienten eines Skalarfeldes

U

=Potential der Kraft darstellen lassen.
Diese müssen bestimmte Bedingungen erfüllen, damit für die Kraft

\vec{F}

ein Potential existiert. Wir setzen ein einfach zusammenhängendes Gebiet

G \in R^{3}

voraus, also ohne Singularitäten, Löcher oder dergleichen, auf dem sich die Kurve C befindet mit dem Anfangspkt A u. Endpkt. B auf dem ein Teilchen von A -> B bewegt werden soll. Natürlich muss das Feld, hier

\vec{F}

stetig differenzierbar sein.
konservativ, nur dann:

(1)

\nabla \times \vec{F} = \vec{0} \Leftrightarrow \partial_{i} F_{j} = \partial_{j} F_{i}

(Integrabilitätsbedingung, zyklische Vertauschung der partiellen Ableitungen)
(2)

\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} = 0

( bei konservativen Kräften ist das geschlossene Kurvenintegral über eine Kurve

C \subset G

Null.

d \vec{r} = (d x, d y, d z)^{T}

das Differential in kartesischen Koordinaten)
(3)

\vec{F} = - \nabla U \Leftrightarrow \int_{C} \vec{F} d \vec{r} = U (B) - U (A)

(integrale Voraussetzung für die Existenz eines Potentials, welches nur vom Anfangs- und Endpunkt der Kurve abhängt aber NICHT vom Verlauf der Kurve im Raum (Wegunabhängigkeit))
Bei (3) ist es ersichtlich, dass der Integrand, dargestellt als 1-Differentialform, nichts anderes ist als das totale Differential von dem Potential U.

\vec{F} \cdot d \vec{r} = F_{1} d x + F_{2} d y + F_{3} d z = U_{x} d x + U_{y} d y + U_{z} d z = d U

(analog wie das 1-D bestimmte Integral z.B

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

, (Hauptsatz der Diffferential- u. Integralrechnung) bekannt auch aus der Schulmathematik)
Jede einzelne Komponente von U in (3) ist eine Stammfkt. der entsprechenden Komponente von

\vec{F}

. Also unter dem Integral hätte auch dU stehen können statt

\vec{F} \cdot d \vec{r}

, da aber bei Kurveninetgralen im Raum eher das Vekorfeld bekannt ist, so überprüft man anhand (3) noch geschickter anhand (1), ob zu dem Vektorfeld ein Potential existiert, wenn ja dann wegunabhängigkeit, da (3) auch gilt und somit der Integrand das totale Differential von dem Potential U ist. Ansonsten mach dir bitte klar, wie das totale Differential definiert ist.
http//de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential

NEPH1L1M aktiv_icon

13:05 Uhr, 03.05.2013

Hallo lepton,

zunächst vielen Dank für deine ausführliche und sehr gute Beschreibung.

Mit dem totalen Differential hatte ich mich beschäftigt, auch mit Gradienten etc. , danmke nochmals für den Link.

Mir war aber nicht klar, daß wenn ein Integrand ein totales Diffential ist, dieses Integral dann wegunabhängig ist. Dazu gehören ja noch andere Voraussetzungen.

Die von dir aufgeführten Bedingungen

(1), (2)

und

(3),

hier dann insbesondes

(2)

und (3)

gelten bei konservativen Kräften, daß ist mir klar gewesen, bloß wie gesagt habe ich den "Bogen" nicht hinbekommen.

L . G

. NEPH

lepton

11:19 Uhr, 04.05.2013

Die Antwort folgt aus der Stetigkeit der partiellen Ableitung der Stammfkt. bzw. hier des Potentials. Um das kurz und kompakt zu beschreiben, liegt im Allgemeinen Wegunabhängigkeit dann vor, wenn sich eine Fkt.

f

als Gradient eines Skalarfeldes (

\nabla φ

) darstellen lässt. Und wie ihr wahrscheinlich aus Ana II-Vorlesung darüber bestimmte Sätze zu Vektrofeldern und Jacobimatrix eines Skalarfeldes kennengelernt habt, dann wirst du feststellen, dass die partiellen Ableitungen alle stetige Funktionen sind. Die totale Differenzierbarkeit ist doch nicht anderes als eine Approximation durch lineare Abbildungen in die entsprechenden Raum- bzw. Ebenenrichtungen. Und diese sind zweifellos differenzierbar und dadurch auch stetig. Dass aus Differenzierbarkeit die Stetigkeit folgt und nicht umgekehrt, sollte man analog schon aus Ana I kennen. Ansonsten, schaue dir die Sätze aus Ana II zu partiellen Ableitungen im mehrdimensionalen Raum an.

NEPH1L1M aktiv_icon

12:54 Uhr, 06.05.2013

Vielen Dank

!!

V . G

. NEPH

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