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Arkustangens Identität

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Tags: Arkustangens

 
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gonnabeph

gonnabeph aktiv_icon

23:21 Uhr, 04.05.2015

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Hallo, ich soll zeigen das arctan(z)=i2log(i+zi-z) gilt.

Meine Ideen:

z=tan(y)=eiy-e-iyieiy+ie-iy

Nun habe ich substituert: u=eiy.

z=u2-1iu2+i

u2=zi+11-zi

u=±zi+11-zi

Nun habe ich rücksubstituiert:

eiy=±zi+11-zi

iy=12±ln(zi+11-zi)


Wo habe ich einen Fehler gemacht? Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Respon

Respon

23:54 Uhr, 04.05.2015

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Bilde links und rechts die Ableitung
[tan-1(z)]'=11+z2
[i2ln(i+zi-z)]'=i2i-zi+z(i-z)1-(i+z)(-1)(i-z)2=i2i-zi+z2i(i-z)2=11+z2
.... also Identität

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Respon

Respon

06:09 Uhr, 05.05.2015

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Respektive nach deiner Methode:
y=tan-1(z)
....
e2iy=1+iz1-iz
1+iz1-iz wird mit i erweitert i-zi+z
e2iy=i-zi+z
2iy=ln(i-zi+z)
Auf beiden Seiten mit i multiplzieren.
-2y=iln(i-zi+z)
Es gilt ln(i-zi+z)=-ln(i+zi-z)

-2y=-iln(i+zi-z)
tan-1(z)=i2ln(i+zi-z)

( Wegen des komplexen Logarithmus habe ich hier etwas "Bauchweh", aber zumindest formal schaut's gut aus. )
gonnabeph

gonnabeph aktiv_icon

18:20 Uhr, 05.05.2015

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Wie kommst du denn auf der linken Seite auf e2iy?

Gruß und danke!
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ledum

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19:52 Uhr, 05.05.2015

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Hallo
wie du auf das 12±... kommst weiss ich nicht. substituiere u^2=e^(2iy)
und du hast direkt 2iy=
Gruß ledum
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