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Auf Totales Differential prüfen?

Universität / Fachhochschule

Tags: berechnen, Differantialrechnung, Infinitesimalrechnung, Prüfen, totales Differenzial

mac-user09 aktiv_icon

09:41 Uhr, 04.12.2012

Hallo,

ich habe zwei fragen zum Totalen Differential.

1. wie berechne ich das Totale Differential einer Funktion?

2. Wie prüfe ich, ob ein Ausdruck ein Totale Differential ist?

zu zwei habe ich ein Beispiel:

d' f (x, y, z) = 4 \cdot y \cdot x^{2} d x + (3 \cdot y \cdot z + x^{4}) d y + y^{3} d t

Grüße
Mac.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mac-user09 aktiv_icon

20:00 Uhr, 04.12.2012

Hat keiner eine Idee?

Im Internet finde ich leider nur widersprüchliches dazu. Ich hoffe also auf euch!

Grüße
Mac

ServerToni

20:50 Uhr, 04.12.2012

Kurz gesagt. Prüfe ob die Rotation der Nullvektor ist. Wenn ja, dann ist es das totale Differential.

Etwas länger: Prüfe ob die 2. Partiellen Ableitungen gleich sind. Satz von Schwarz!!! (Das macht die Rotation aber auch.)

Also wenn du das vor dem dx nach y ableitest bekommst du ja 4*x³. Leitest du das vor dem dy nach x ab bekommst du 4*x³. Das passt also. Nun prüfst du noch, ob die anderen Sachen auch so passen. Also das vor dem dz nach x ableiten und vor dem dx nach z ableiten und diese Dinge müssen gleich sein. Das vorm dy nach z ableiten und das vorm dz nach y ableiten. Sind die auch gleich ist es das totale Differential.

mac-user09 aktiv_icon

08:34 Uhr, 05.12.2012

Kleiner Fehler: Am Ende soll es natürlich

d z

und nicht

d t

heißen!

EDIT:

d' f (x, y, z) = 4 \cdot y \cdot x^{2} d x + (3 \cdot y \cdot z + x^{4}) d y + y^{3} d z

Danke sehr für die Antwort.
Das, was zu machen ist, ist mir nun klar. Jedoch habe ich Probleme, mit dem was du schon an Ergebnissen geschrieben hast.
Warum ist das vor

d x

nach

y

abgeleitet

4 x^{3}

?

Ich habe folgendes raus:

1. zu

d x

nach

y

ableiten:

4 \cdot y \cdot x^{2}

muss abgeleitet werden. da kommt dann aber doch

4 x^{2}

raus.

2.

d y

nach

x :

(3 \cdot y \cdot z + x^{4})

ist abgeleitet dann

0 + 4 x^{3}

d z

nach

x :

y^{3}

ist abgeleitet nach

x 0

d x

nach

z :

4 \cdot y \cdot x^{2}

ist abgeleitet nach

x 0

d y

nach

z :

(3 \cdot y \cdot z + x^{4})

ist dann

3 y

d z

nach

y :

y^{3}

ist abgeleitet aber

3 y^{2}

Daher sind nur 3 und 4 Gleich, der Rest nicht. Daher dürfte das dann kein totales Differential sein, oder?

ServerToni

12:18 Uhr, 05.12.2012

Richtig. Hatte mich da verschrieben. Es ist kein Totales Differential. (Oft auch als Vollständiges Differential bezeichnet)

Wenn du willst, kannst du auch nochmal die Rotation berechnen. Der Vektor wäre dann einfach

(\begin{array}{c} 4 y x ² \\ 3 y z x^{4} \\ y ³ \end{array})

Wenn der Nullvektor rauskommt, wäre es das totale Differential.
Du könntest dann eine Potentialfunktion errechnen und alles wäre Wegunabhängig.

mac-user09 aktiv_icon

20:19 Uhr, 05.12.2012

Jau, danke. Und wie sieht es bei folgendem aus?

d' f (x, y) = 3 y d x + x d y

Da habe ich raus, dass es auch kein totales Differential ist. Ist das richtig?

mac-user09 aktiv_icon

15:12 Uhr, 06.12.2012

Jau, alles verstanden. Die anderen haben bei meiner letzten Nachfrage auch raus, dass es kein totales Differential ist.

Danke für die Hilfe...

ServerToni

15:49 Uhr, 06.12.2012

Da eben wieder ableiten

3y nach dy ist 3. x nach dy ist 1. Also ungleich. Kein totales Dif.

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