Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Aufgabe zur Differenzialrechnung

Aufgabe zur Differenzialrechnung

Schüler Gymnasium,

Tags: Analysis, Differnzialrechnung

anonymous

12:21 Uhr, 28.07.2015

Grüßt euch,
hier die Aufgabe:

,,Das Robert-Koch-Institut in Berlin hat den Verlauf der Darmerkrankung EHEC untersucht. Die Zahl der Erkrankten kann näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung dargestellt werden:

f (x) = - \frac{1}{250} \cdot x^{3} + \frac{1}{10} \cdot x^{2}

Die Erfassung der Erkrankten beginnt zum Zeitpunkt

x = 0, x

Zeit in Tagen"

Ich habe nur zu

d)

eine Frage:

d)

Berechne, an welchem Tag sich die Zahl der Erkranktem am stärksten änderte.

Ich weiß, dass das etwas mit dem Wendepunkt zu tun hat. So ganz erklären kann ich es mir leider nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

12:29 Uhr, 28.07.2015

Hallo,
gesucht ist der Zeitpunkt des steilsten Anstiegs (oder Abfallens) der Funktion.
Dort hat die erste Ableitung ein Maximum (oder Minimum).
Es kann sich also um ein lokales Extremum der ersten Ableitung (=Nullstelle der zweiten Ableitung=Wendestelle handeln oder um ein globales Extremum der 1. Ableitung (auch Anstiege an den Intervallrändern betrachten).

anonymous

12:40 Uhr, 28.07.2015

,,Es kann sich also um ein lokales Extremum der ersten Ableitung (=Nullstelle der zweiten Ableitung=Wendestelle handeln oder um ein globales Extremum der 1. Ableitung (auch Anstiege an den Intervallrändern betrachten)."

1 .)

Aber generell macht es für solche Rechnungen keinen Unterschied, ob es ein globales oder lokales Extremum ist, oder doch?

2 .)

In diesem Fall müsste es ein globales Extremum der 1. Ableitung sein (siehe Bild im Anhang, die erste Ableitung ist grün gefärbt). Richtig?

3 .)

Was meinst du mit ,,Anstieg an den Intervallrändern" beachten?

abakus

13:00 Uhr, 28.07.2015

Hallo,
der erfasste Erkrankungszeitraum beginnt bei x=0, über ein Ende dieses Zeitraums ist im Text nichts gesagt. Es ist aber klar, dass dieser Zeitraum spätestens dann endet, wenn die Anzahl der Kranken rein rechnerisch negativ wird (als bei der nächsten Nullstelle der Erkrankungsfunktion).
Es ist mit bloßem Auge zu sehen, dass die Funktion dort steiler abfällt, als sie im Wendepunkt ansteigt.
Da dort aber weder die erster noch die zweite Ableitung Null ist, taugt die Methode der Ableitungsnullsetzung NICHTS bei globalen Extrema an den Intervallrändern.

anonymous

13:37 Uhr, 28.07.2015

Tut mir leid. Verstehen tue ich nicht so viel.

Als Erstes: Was ist ein Intervallrand?

anonymous

19:35 Uhr, 28.07.2015

Folgendes irrtiert mich eigentlich am meisten: Wenn ich ausrechnen soll, wann die Funktion am meisten steigt oder fällt, dann bekomme ich

x = 8 \frac{1}{3}

raus. Das heißt, dass die Funktion bei

x = 8 \frac{1}{3}

ihren Wendepunkt hat. Aber für x-Koordinaten größer

\approx 40

steigt die Funktion deutlich steiler, als sie bei

x = 8 \frac{1}{3}

steigt!

Respon

20:09 Uhr, 28.07.2015

Die ganze Krankengeschichte endet nach

25

Tagen.

anonymous

09:50 Uhr, 29.07.2015

Im Kontext der Aufgabe ist das natürlich richtig. Allerdings würde ich es gerne rein mathematisch betrachten.

anonymous

09:51 Uhr, 29.07.2015

Also meine Frage von oben bleibt.

Respon

10:10 Uhr, 29.07.2015

Durch diese logische Einschränkung erhalten wir die Definitionsmenge

[0; 25]

Und da lassen sich sowohl globale als auch lokale Extrema der ersten Ableitung leicht bestimmen.

anonymous

10:18 Uhr, 29.07.2015

Respon, ich möchte keine logische Einschränkung! Ich möchte vom Sachkontext weg! Deshalb fällt die Definitionsmenge logischerweise ja auch weg.
Ich verstehe nicht, warum die Funktion

f (x) = - \frac{1}{250} \cdot x^{3} + \frac{1}{10} \cdot x^{2}

sich bei

x = 8 \frac{1}{3}

am stärksten ändern soll!

Respon

10:20 Uhr, 29.07.2015

Die Funktion ändert sich bei

x = 25

am stärksten.
( Siehe auch Post von Gast62 )

anonymous

11:28 Uhr, 29.07.2015

Nein, das kann meines Wissens nicht sein. Die Funktion ändert sich NICHT bei

x = 25

am stärksten.

1 .)

Unterschied zwischen globalem und lokalem Extremum?

2 .)

In diesem Fall müsste es ein globales Extremum der 1. Ableitung sein (siehe Bild im Anhang, die erste Ableitung ist grün gefärbt). Richtig?

3 .)

Was meinst du mit ,,Anstieg an den Intervallrändern" beachten?

Vielleicht verstehe ich ja dann eure Antworten, wenn meine Fragen geklärt sind.

Danke im Voraus!

Respon

11:39 Uhr, 29.07.2015

Die Änderungsrate ist der jeweilige - absolute - Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle.

| f' (\frac{81}{3}) | = 0,83

| f' (25) | = 2,5

Das globale Extremum von

f' (x)

liegt also bei

x = 25

Respon

11:55 Uhr, 29.07.2015

"1.) Unterschied zwischen globalem und lokalem Extremum?"
Einfach ausgedrückt:
lokales Extremum: In jeder

ε -

Umgebung des Extremums sind ALLE Funktionswerte kleiner ( bzw. größer )
globales Extremum: Im GESAMTEN Definitionsintervall sind ALLE Funktionswerte kleiner ( bzw. größer ) als der Funktionswert des Extremums.

Respon

11:57 Uhr, 29.07.2015

oben sollte es natürlich

8 \frac{1}{3}

sein ( und nicht

\frac{81}{3})

anonymous

12:17 Uhr, 29.07.2015

Du schreibst:
,,lokales Extremum: In jeder ε− Umgebung des Extremums sind ALLE Funktionswerte kleiner ( bzw. größer )"

\to

Wie groß ist die

ε -

Umgebung bzw. wie groß kann ich sie wählen?

Im Anhang ist ein Bild der ersten Ableitung zu sehen.

f' (40) = - 11,2

\Rightarrow

Betrag von

f' (40) >

Betrag von

f' (25)

Je mehr

x

gegen unendlich geht, desto größer wird der Betrag (siehe auch Anhang).
Was meinst du?

Respon

12:19 Uhr, 29.07.2015

Für

x = 40

ist die in der Aufgabe beschriebene Funktion nicht definiert.

anonymous

13:01 Uhr, 29.07.2015

Ich befürchte, dass ich mich entweder unklar ausdrücke oder zwei verschiedene Aufgaben miteinander vermische. Ich werde eine neue, aber stark ähnliche Frage zu der hier stellen.

1248040

1247880

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?