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Bedingungen Gleichungssystem

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Tags: Sonstiges

Eleonora71 aktiv_icon

07:26 Uhr, 20.12.2014

Guten Morgen,

Matheschwächen sollte man als Studentin minimieren. Und ich weiß einfach nie wie ich den Aufgabentypus angehen soll.

Ich kenne den Gauß-Algorithmus, aber dennoch weiß ich nicht so ganz wie ich das hier lösen soll:

Welche Bedinungen müssen an die Zahlen

a, b, c, d \in ℂ

gestellt werden, damit das Gleichungssystem

(\begin{matrix} a z_{1} + b z_{2} = w_{1} \\ c z_{1} + d z_{2} = w_{2} \end{matrix})

für jede Vergabe von Zahlen

w_{1}, w_{2} \in ℂ

eine eindeutige Lösung

z_{1}, z_{2} \in ℂ

besitzt? Wie lautet dann diese Lösung?

Eindeutige Lösung bedeutet jetzt es gibt keine Fallunterscheidungen?

Man sieht auch direkt, dass egal ob durch Addition oder Subtraktion, Multiplikation oder Division nichts wegfällt.

Ich kann jedoch die erste Zeile nach

z_{1}

auflösen und in die zweite einsetzen:

z_{1} = \frac{w_{1} - b z_{2}}{a}

in II liefert:

c \frac{(w_{1} - b z_{2})}{a} + d z_{2} = w_{2}

Jetzt löse ich einfach mal nach

z_{2}

auf:

\frac{c w_{1} - c b z_{2}}{a} + d z_{2} = w_{2}

(geteilt durch

d)

\Leftrightarrow \frac{c w_{1} - c b z_{2}}{a d} + z_{2} = \frac{w_{2}}{d}

\Leftrightarrow - \frac{c b z_{2}}{a d} + z_{2} = \frac{w_{2}}{d} - \frac{c w_{1}}{a d}

\Leftrightarrow - \frac{c b z_{2} + a d z_{2}}{a d} = \frac{w_{2}}{d} - \frac{c w_{1}}{a d}

\Leftrightarrow (c b z_{2} + a d z_{2}) = - (a d) \cdot (\frac{w_{2}}{d} - \frac{c w_{1}}{a d})

\Leftrightarrow z_{2} (c b + a d) = - (a d) \cdot (\frac{w_{2}}{d} - \frac{c w_{1}}{a d})

\Leftrightarrow z_{2} (c b + a d) = - w_{2} a + c w_{1}

\Leftrightarrow z_{2} = \frac{- w_{2} a + c w_{1}}{(c b + a d)} (⋆)

Ist das so richtig? Jetzt kann ich damit in die erste Zeile gehen und mein

z_{1}

berechnen? Aber nichtsdestotrotz weiß ich nicht für welche

w_{1}, w_{2} \in ℂ

ich eine eindeutige Lösung

z_{1}, z_{2} \in ℂ

bekomme?

(⋆)

eingesetzt IN I. Gleichung

a z_{1} + b \frac{(- w_{2} a + c w_{1})}{(c b + a d)} = w_{1}

(durch

a &

Term auf rechte Seite gebracht)

\Leftrightarrow z_{1} = \frac{w_{1}}{a} - \frac{- w_{2} a b + b c w_{1}}{a (c b + a d)}

Das sagt mir einfach nichts

: (

Elena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

tommy40629 aktiv_icon

10:24 Uhr, 20.12.2014

Was ich noch machen würde ist, wenn Du einen Bruch hast, dann würde ich noch
hinschreiben, dass der Nenner nicht Null ist.

Und wenn Du multiplizierst, dann würde ich auch mit hinschreiben, dass die Faktoren nicht Null sind.

Auf negative Wurzeln muss man in IC ja nicht achten.

Und es muss doch auch irgendwo definiert worden sein, wann ein LGS in IC eine eindeutige Lösung hat.

Wenn dann in dieser Definition Bedingungen auftauchen, dann prüfe diese Bedingungen an Deinem LGS nach.

Eleonora71 aktiv_icon

10:34 Uhr, 20.12.2014

"Was ich noch machen würde ist, wenn Du einen Bruch hast, dann würde ich noch
hinschreiben, dass der Nenner nicht Null ist."

Ja andernfalls macht es keinen Sinn, also kommt nichts raus.

"Und wenn Du multiplizierst, dann würde ich auch mit hinschreiben, dass die Faktoren nicht Null sind."
Okay.

"Auf negative Wurzeln muss man in IC ja nicht achten."
Genau, wir sind ja im Komplexen. IC? Heißt?

"Und es muss doch auch irgendwo definiert worden sein, wann ein LGS in IC eine eindeutige Lösung hat."
Irgendwo definiert sein?

"Wenn dann in dieser Definition Bedingungen auftauchen, dann prüfe diese Bedingungen an Deinem LGS nach."
Kann dem nicht folgen

: (

Respon

11:27 Uhr, 20.12.2014

Also wenn du wirklich die exakten Bedingungen für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme haben willst, dann schau dir diese Zusammenstellung an:

Eleonora71 aktiv_icon

12:01 Uhr, 20.12.2014

Wir hatten in der Vorlesung weder Rang noch das Lösen linearer Gleichungssysteme. Wir sollten das einfach mittels Schulwissen und dem Infoblatt lösen, und das Infoblatt ist nicht mehr auf der Seite, kann es einfach nicht finden.

- . -

Elena

Respon

12:17 Uhr, 20.12.2014

Man kann es auch so formulieren:
Eindeutige Lösung: Determinante der Systemmatrix

\neq 0

( siehe Cramersche Regel )

Eleonora71 aktiv_icon

12:34 Uhr, 20.12.2014

Diesen Zusammhang hatten wir kurz erwähnt in der Elektrotechnik-Vorlesung, aber Bestandteil der Mathe-Vorlesung war er auch nicht.

Ich krieg eine midlife-crisis

: (

mit

19 . .

Respon

12:38 Uhr, 20.12.2014

Das Problem an sich ist ja kein besonderes. Es geht jetzt nur um die Definition, was unter "Schulwissen" verstanden werden soll.
Also
Du hast ein lineares Gleichungssystem mit den Konstanten

a, b, c, d, w_{1}

und

w_{2}

sowie den Unbekannten

z_{1}

und

z_{2}

.
Gefragt ist nach den Bedingungen, unter denen das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat.
Ist das so?

Eleonora71 aktiv_icon

12:47 Uhr, 20.12.2014

Nun im Prinzip schon. Nur das noch mehr Konstanten vorkommen. Dort hat man jedoch einfach nur durch Zeilentransformationen die Lösung ermittelt.
Jedoch ist mir auch ein wenig unklar was mit einer eindeutigeb Lösung gemeint ist, bzw. was das explizit bedeutet.

Elena

Respon

12:53 Uhr, 20.12.2014

Bei einem linearen Gleichungssystem gibt es bezüglich der Lösungen drei Möglichkeiten:

1)

Das LGS besitzt genau eine Lösung

(d . h

. für jede der Unbekannten - hier

z_{1}

und

z_{2} -

existiert genau ein Zahlenwert, der beide Gleichungen erfüllt )

2)

Das LGS hat entweder mehrere oder auch unendlich viele Lösungen.

3)

Es gibt keine Zahlenwerte, die beide Gleichungen erfüllen.

I.d.R. ist Fall

1)

der interessanteste oder der gefragte.

Eleonora71 aktiv_icon

12:58 Uhr, 20.12.2014

Soweit eig klar. Ich erhalte auch in meinen Berechnung "Werte" für

z_{1}

und

z_{2},

nur halt nicht konkret, sondern allgemein als Variablen. Und vor lauter Bäumen übersehe ich wahrscheinlich den Wald, denn mein Vorgehen ist doch an sich richtig?

Nur wie gebe ich jetzt die Werte an für die es erfühlt ist?

Elena

Respon

13:07 Uhr, 20.12.2014

Wenn man das Gleichungssystem ( so wie ganz oben ) "formal" auflöst, so erhält man für die Unbekannten folgende Terme.

z_{1} = \frac{d \cdot w_{1} - b \cdot w_{2}}{a \cdot d - c \cdot b}

bzw.

z_{2} = \frac{a \cdot w_{2} - c \cdot w_{1}}{a \cdot d - c \cdot b}

Diese Terme müssen jetzt analysiert werden:

1)

ist

a \cdot d - c \cdot b \neq 0,

so ist - ganz gleich was im Zähler steht, das LGS eindeutig lösbar,

d . h

. es gibt genau einen Wert für

z_{1}

und

z_{2} (

dieser Wert kann in Sonderfällen natürlich auch 0 sein )

2)

Der Nenner ( also

a \cdot d - c \cdot b)

ist 0. Hier müssen wir zwei weitere Fälle unterscheiden.
Der Nenner ist 0 UND der Zähler ist 0. Das weist meistens darauf hin, dass das LGS mehrere bzw. unendlich viele Lösungen besitz

(\frac{0}{0}

ist eine "unbestimmte" Form )
Der Nenner ist 0 ABER der Zähler ist

\neq 0

. In diesem Fall ist der Bruch nicht definiert und es gibt KEINE Lösung.

abakus

14:19 Uhr, 20.12.2014

"Diese Terme müssen jetzt analysiert werden:"

"JETZT" geht zwar auch, aber ist fast schon zu spät.
Eleonora schrieb weiter oben:
"Ich kann jedoch die erste Zeile nach

z_{1}

auflösen und in die zweite einsetzen"
und dann erschien ein Term, bei dem a im Nenner stand.
Sie hat also vorher durch a geteilt (und hätte bereits dort überlegen müssen, unter welcher Bedingung sie das darf).

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