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Beispiele zur quadratischen Ergänzung

Schüler, Gymnasium, 9. Klassenstufe

Wie findet man die quadratische Ergänzung?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Ergänzung
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

1) Beispiel

Die quadratische Funktion

y = x^{2} - 2 x

soll in die Scheitelpunktform gebracht werden.

Die Frage ist nun:

Was muss man zur Funktionsgleichung addieren damit man einen Ausdruck der Form:

a^{2} -

2ab

+ b^{2}

bekommt?

Dieser Ausdruck ist die sogenannte zweite binomische Formel:

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Vergleicht man die binomische Formel mit der Funktionsgleichung, dann ergibt sich:

quadratische_ergaenzung_ma_1

Aus

a^{2} = x^{2}

folgt:

x = a

Aus -2ab

= - 2 x

und

x = a

folgt:

b = 1

Die quadratische Ergänzung ist also

b^{2} = 1^{2} = 1

Sie wird nun einmal zur Funktionsgleichung hinzugefügt und einmal abgezogen:

y = x^{2} - 2 x + 1 - 1

Klammert man nun die ersten 3 Terme zusammen und wendet die zweite binomische Formel an, so ergibt sich die gesuchte Scheitelopunktform der quadratischen Funktion:

y = (x^{2} - 2 x + 1) - 1

\Rightarrow y = {(x - 1)}^{2} - 1

2) Beispiel

Die quadratische Funktion

y = x^{2} + 4 x + 5

soll in die Scheitelpunktform gebracht werden.

Die Frage ist nun:

Was muss man zur Funktionsgleichung addieren damit man einen Ausdruck der Form:

a^{2} +

2ab

+ b^{2}

bekommt?

Dieser Ausdruck ist die sogenannte erste binomischen Formel:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Man betrachtet nun den quadratischen Term

x^{2}

und den linearen Term

4 x

und vergleicht sie mit der binomischen Formel:

quadratische_ergaenzung_ma_2

Aus

a^{2} = x^{2}

folgt:

x = a

Aus 2ab

= 4 x

und

x = a

folgt:

2 a b = 4 a \Rightarrow b = \frac{4 a}{2 a} = 2

Die quadratische Ergänzung ist also

b^{2} = 2^{2} = 4

Sie wird nun einmal zur Funktionsgleichung hinzugefügt und einmal abgezogen:

y = x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 5

Klammert man nun die ersten 3 Termen zusammen und wendet die erste binomische Formel an, so ergibt sich die gesuchte Scheitelpunktform der quadratischen Funktion:

y = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 + 5

\Rightarrow y = {(x + 2)}^{2} + 1

3) Beispiel

Die quadratische Funktion

y = 2 x^{2} + 6 x - 3

soll in die Scheitelpunktform gebracht werden.

In diesem Beispiel hat der quadratische Term

2 x^{2}

einen Vorfaktor 2.
Dieser wird ausgeklammert:

y = 2 \cdot (x^{2} + 3 x - \frac{3}{2})

Die Frage ist nun:

Was muss man zur Funktionsgleichung addieren damit man einen Ausdruck der Form:

a^{2} +

2ab

+ b^{2}

bekommt?

Dieser Ausdruck ist die sogenannte erste binomischen Formel:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Man betrachtet nun den Term in der Klammer und vergleicht ihn mit der binomischen Formel:

quadratische_ergaenzung_ma_3

Aus

a^{2} = x^{2}

folgt:

x = a

Aus 2ab

= 3 x

und

x = a

folgt:

2 a b = 3 a \Rightarrow b = \frac{3 a}{2 a} = \frac{3}{2}

Die quadratische Ergänzung ist also

b^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}

Sie wird nun einmal zur Funktionsgleichung hinzugefügt und einmal abgezogen:

y = 2 \cdot (x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} - \frac{3}{2})

Klammert man nun die ersten 3 Termen zusammen und wendet die erste binomische Formel an, so ergibt sich die gesuchte Scheitelpunktform der quadratischen Funktion:

y = 2 \cdot ((x^{2} + 3 x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - \frac{3}{2})

y = 2 \cdot ({(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{15}{4})

\Rightarrow y = 2 \cdot {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{15}{2}

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