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Berechnen von 2 Punkten

Universität / Fachhochschule

Tags: 3D Koordinaten, Rechteck

bezarre

12:46 Uhr, 24.04.2014

Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Ich habe 2 Punkte

(x, y, z),

die die linke obere Ecke und rechte untere Ecke eines Rechteckes definieren.

Ich würde jetzt gerne den linklen unteren Punkt und den rechten oberen Punkt berechnen. Geht das? Falls ja, wie mache ich das? Ist sicher total simpel... aber ich stehe auf der Leitung.

Ich habe eine Grafik angehangen, die mein Problem hoffentlich verdeutlicht.

Danke & Gruß
bez

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

anonymous

12:54 Uhr, 24.04.2014

Aus der Tatsache, dass du 3 Koordinaten für die bekannten Eckpunkte benennst, möchte ich vermuten, dass du dich gedanklich im 3D-Raum bewegst.
Falls ja, dann:
Überleg dir doch: wenn du das Rechteck als Drahtmodell baust und an den bekannten Eckpunkten in die Hand nimmst, kannst du es um die Achse durch die zwei bekannten Eckpunkte frei drehen.

D . h

. die Lage des Rechtecks im Raum ist nicht eindeutig.
Und das wiederum heisst: du kannst die anderen Eckpunkt-Koordinaten nicht ohne eine zusätzliche Angabe bestimmen.

bezarre

13:05 Uhr, 24.04.2014

Hallo,

stimmt ich befinde mich im

3 D

Raum.

Ich habe noch die Informationen, dass das ganze Gebilde auf einer Ebene liegt. Würde einem dies nicht weiterhelfen?

Eine Ebene liegt bei mir in dieser Form vor:

E :

ax+by+cz+d

= 0

Gruß

anonymous

13:13 Uhr, 24.04.2014

Drück dich klar aus!
Ist dir die Ebene bekannt, in der das Rechteck liegt?

Wenn ja, dann überleg dir nach wie vor anhand der Drahtmodell-Idee von oben: Es gibt immer noch 2 Lösungen!

bezarre

13:14 Uhr, 24.04.2014

Hallo,

ja die Ebene, auf dem die Punkte liegen sollen ist mir bekannt. Wieso gibt es jetzt immer noch 2 Lösungen?

Das verstehe ich nicht...

Beste Grüße
bez

bezarre

16:30 Uhr, 24.04.2014

Hallo,

ich bin hier leider immer noch nicht weiter gekommen. Was für eine Information könnte mir den helfen, damit nur eine Lösung besteht?

Auch auf die Gefahr hin, zwei Lösungen zu erhalten, wie genau berechne ich die Punkte mit Hilfe der Ebene?

Ich gebe nochmal kurz wieder, was ich alles habe.

Ich kenne

P 1

(unten links) und

P 2

(oben recht). Ich kenne den Mittelpunkt des Rechteckes. Ich kenne die Seitenlängen und ich kenne die Ebene auf der das Rechteck liegt (und dem entsprechend auch die 4 Punkte).

Zusätzlich kenne ich ja noch den

Φ

Wert der beiden unbekannten Punkte.

Beste Grüße
bez

Paulus

17:28 Uhr, 24.04.2014

Hallo bezarre

ich würde es für sinnvoll betrachten, wenn du einfach mal die GANZE Aufgabe schreiben würdest. Immer Häppchenweise ein Wenig mehr Information zu geben, grenzt an Respektlosigkeit für die Personen, welche sich mit der Aufgabe beschäftigen.

Gruss

Paul

bezarre

17:30 Uhr, 24.04.2014

Hallo,

es gibt keine Aufgabe... das ist ein Problem welches ich lösen möchte und es hat hier überhaupt nichts mit Respektlosigkeit zu tun.

Ich habe geschrieben, was ich vorhabe bzw. wie meine Ausgangssituation ist und was ich erreichen möchte. Ich habe jetzt aufgeschrieben, welche Informationen mir nach aktuellem Stand zur Verfügung stehen. Mehr kann ich leider nicht anbieten... hätte ich den vollen Plan würde ich sicher nicht hier schreiben ;-)

Gruß
bez

Paulus

17:39 Uhr, 24.04.2014

Also dann liegen deine Lösungen doch einfach auf der Kugel, dessen Mittelpunt genau zwischen den beiden Punkten liegt und dessen Radius so gross ist, dass die beiden gegebenen Punkte auf der Kugel liegen (also halbe Diagonale). Natürlich beide Punkte gegenüberliegend.

Schau dir doch einfach mal deine Zeichnung an. Wenn du einen Thaleskreis über die gegebene Diagonale zeichnest, können doch die gesuchten Ecken überall auf den Thaleskreis liegen. Und das rotierst du um die gegebene Diagonalle, und schon hast du meine beschriebene Kugel.

Gruss

Paul

anonymous

22:41 Uhr, 24.04.2014

Seit

16 : 30 h

wissen wir ja nun, dass auch die Seitenlängen des Rechtecks bekannt sind.
@Paulus: aus diesem Grund ein Kreis und nicht eine Kugel.

@bezarre:
Vorschlag: Es ist nicht schwer!

a)

Nimm eine Büroklammer!

b)

Biege sie auf, zu einem gestreckten Draht!

c)

Biege diesen Draht zu einem Rechteck!

d)

Klemme zwei gegenüberliegende Ecken zwischen Daumen und Zeigefinger der LINKEN Hand!
Diese beiden Ecken seien die bekannten Fixpunkte.

e)

Nimm die RECHTE Hand und dreh die Büroklammer um die Achse, die aus diesen beiden Fixpunkten gebildet wird,

d . h

. ohne die LINKE Hand zu bewegen!
Das ist der Freiheitsgrad, den das Rechteck besitzt.

f)

Dreh das Rechteck in eine Lage, in der es parallel zur Tischfläche liegt. Die (Parallele zur) Tischfläche sei die Ebene, in der das Rechteck zu liegen hat.
Dies ist die ERSTE Lösung des Problems.

g)

Dreh das Rechteck nun um 180° um die oben beschriebene Achse.
Dies ist die ZWEITE Lösung des Problems.

Du studierst an der Uni/Fachhochschule. Ich bin sicher, das schaffst du!

bezarre

06:55 Uhr, 25.04.2014

Hallo,

Ja OK das sind 2 Lösungen. Das verstehe ich. ;-) aber wie berechne ich diese Punkte jetzt? Ich zerbreche mir seit mehreren Tagen hier den Kopf und sehe mittlerweile den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Ich weiß selber, dass das wahrscheinlich relativ simple sein wird, aber das macht das Ganze gerade nicht besser ;-)

Beste Grüße
Micha

anonymous

10:14 Uhr, 25.04.2014

a)

Entscheide dich für einen Eckpunkt, den du berechnen willst.
Dieser Eckpunkt hat 3 Koordinaten.
Gib diesen Koordinaten Namen,

z . B . : (\begin{matrix} u \\ v \\ w \end{matrix})

b)

Der Abstand dieses Eckpunkts vom einen bekannten Eckpunkt ist die eine Rechtecks-Kantenlänge.
Sei

s

die eine Kantenlänge. Dann:

s^{2} = {(u - x_{1})}^{2} + {(v - y_{1})}^{2} + {(w - z_{1})}^{2}

c)

Der Abstand dieses Eckpunkts vom anderen bekannten Eckpunkt ist die andere Rechtecks-Kantenlänge.
Sei

l

die andere Kantenlänge. Dann:

l^{2} = {(u - x_{2})}^{2} + {(v - y_{2})}^{2} + {(w - z_{2})}^{2}

d)

Der Punkt muss auf der Ebene liegen.
Die Gleichung dazu hast du bereits benannt:

a \cdot u + b \cdot v + c \cdot w + d = 0

e)

Das sind 3 Gleichungen für 3 Unbekannte

(u, v, w)

.
Na bitte. Was will man mehr.
Viel Spaß!

bezarre

10:36 Uhr, 25.04.2014

Hallo,

Vielen Dank!!!!

Beste Grüße
Bez

bezarre

14:09 Uhr, 25.04.2014

Jetzt muss ich doch nochmal was fragen...

Ich habe jetzt versucht, das Ganze mittels des Einsetzungsverfahrens zu lösen.

Ich kriege dann folgendes raus:

s^{2} = {((\frac{- b \cdot v - c \cdot w - d}{a}) - x_{1})}^{2} + {(v - y_{1})}^{2} + {(w - z_{1})}^{2}

l^{2} = {((\frac{- b \cdot v - c \cdot w - d}{a}) - x_{2})}^{2} + {(v - y_{2})}^{2} + {(w - z_{2})}^{2}

Aber was mache ich jetzt? Wie kriege ich jetzt

v

bzw.

w

isoliert?

Gruß
bez

anonymous

14:24 Uhr, 25.04.2014

gemischt quadratische Gleichung...

bezarre

14:30 Uhr, 25.04.2014

Hallo,

jetzt bin ich wieder völlig raus... gemischte quadratische Gleichung kenne ich die Mitternachtsformel und die pq Formel.

Aber keine der beiden Gleichungen ist doch in diesem Muster. Und ich wüsste nicht, wie ich die Muster hinkriege.

Gruß
bez

anonymous

14:39 Uhr, 25.04.2014

Ja, für gemischt quadratische Gleichung sind auch die Bezeichnungen 'Mitternachtsformel' und pq-Formel sehr gebräuchlich.

Und doch - alle beide deine Formeln entsprechen genau diesem Muster. Du musst sie nur noch entsprechend aufbereiten.

>

nimm die erste Formel

>

es empfiehlt sich, mit

a^{2}

durchzumultiplizieren

>

alle Klammern ausmultiplizieren

>

konzentriere dich auf eine Variable, zB. auf

v

>

Es gibt Summanden, in denen steht

v

quadratisch, also

v^{2}

>

Es gibt Summanden, in denen steht

v

linear, also

v

>

Es gibt Summanden, in denen taucht kein

v

auf.

>

Fasse alle Summanden mit

v^{2}

zusammen.

>

Fasse alle Summanden mit

v

zusammen.

>

Fasse alle Summanden ohne

v

zusammen.
Dann steht da:

0 = [...] \cdot v^{2} + [...] \cdot v + [...]

Na- ist das nun eine gemischt quadratische Gleichung?
Viel Erfolg!

bezarre

15:07 Uhr, 25.04.2014

Hallo,

uiiii... da komm mal einer drauf... also gut. Ich habe jetzt folgendes:

0 = (b^{2} + a^{2}) \cdot v^{2} + (2 \cdot b \cdot c \cdot w + 2 \cdot d \cdot b + 2 \cdot b \cdot x_{1} \cdot a - 2 \cdot a^{2} \cdot y_{1}) \cdot v +

(c^{2} \cdot w^{2} + d^{2} + x_{1}^{2} \cdot a^{2} + 2 \cdot d \cdot c \cdot w + 2 \cdot x_{1} \cdot a \cdot d + 2 \cdot x_{1} \cdot c \cdot a \cdot w + y^{2} \cdot a^{2} + w^{2} \cdot a^{2} - 2 \cdot w \cdot z_{1} \cdot a^{2} + z_{1}^{2} a^{2} - s^{2} \cdot a^{2}) \cdot v^{0}

In der Hoffnung, dass ich mich jetzt nicht vertippt habe... ich setze das jetzt in die pq Formel ein und kriege dann

v_{1}

und

v_{2}

raus. Doch was jetzt?

Werde ich nicht nach dem Einsetzen von

v_{1}

und

v_{2}

wieder so eine Umformung machen müssen?

Falls ja hätte ich dann nicht 4 mögliche Lösungen?

Gruß
bez

anonymous

13:05 Uhr, 28.04.2014

Hallo
Sorry, ich habe erst jetzt wieder Zeit gefunden, mich ein wenig mit einzudenken.

Also, ich habe deine letzte Umformung jetzt nicht im Detail nachvollzogen, und hoffe, dass du das richtig gemacht hast.

1)

Du hast so weit offensichtlich die erste Gleichung genutzt und explizit nach

v

aufgelöst.
Die konsequente weitere Vorgehensweise wäre dann, diese in die zweite Gleichung

l^{2} =

f(xyz_2,

v, w)

einzusetzen. Auf diese Weise wird

v

ersetzt, und du erhältst eine Gleichung mit nur mehr einer Variablen:

l^{2} = f (w)

Die sieht dann aber sehr, sehr kompliziert aus, insbesondere weil hierin ja Wurzelausdrücke stehen bleiben. Es ist sehr zweifelhaft, ob die explizit nach

v

auflösbar ist. Zumindest bedeutete dies sehr, sehr viel Schweiß, Mühe und Konsequenz.
Aber für numerische Zwecke, sprich für einen Computer-Algorithmus (Stichwort: Solver-Zielwert-Suche) könnte dies ein gangbarer Weg sein.
Wie viele Lösungen dabei möglich werden, wage ich mir noch gar nicht auszumalen.

2)

Wenn du die Problemstellung wirklich explizit lösen willst, dann könnte eine andere Herangehensweise deutlich leichter sein.
Mein Tip: Koordinatentransformation
Wir könnten die Problemstellung von unserem 3D-Problem im xyz-Koordinatensystem in ein zwei-dimensionales Problem wandeln.
Folgendermaßen:
Führe ein 2-D-Koordinatensystem ein, zB.:

>

der Koordinatenursprung des 2D-Koordinatensystems sei der eine bekannte Eckpunkt

(x 1; y 1; z 1)

>

die m-Achse des 2-D-Koordinatensystems sei der Einheits-Vektor zum anderen bekannten Eckpunkt.

>

die Länge der Rechteck-Diagonale sein

g

D . h

. der andere bekannte Eckpunkt liegt auf g*Vektor

m

>

die n-Achse des 2-D-Koordinatensystems sei der Einheits-Vektor in der Ebene, in der das Rechteck zu liegen hat, und sei ortogonal auf

m

.

Damit haben wir das 3D-Problem auf ein 2D-Problem reduziert. Das sollte leichter explizit lösbar sein.

dann:
Seien

(\begin{matrix} p \\ q \end{matrix})

die Koordinaten des gesuchten Eckpunkts im neuen 2D-Koordinatensystem.

s^{2} = p^{2} + q^{2}

l^{2} = {(g \cdot m - p)}^{2} + q^{2}

Da sieht man schon, dass das nach den Unbeannten

p, q

explizit auflösbar ist.

l^{2} = {(g \cdot m - p)}^{2} + s^{2} - p^{2}

\to

gemischt quadratische Gleichung

f (p)

PS: und die hat natürlich zwei Lösungen.
Viel Spaß!

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