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Berechnung der Berührpunkte

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Bling-bling aktiv_icon

17:32 Uhr, 15.02.2011

Hallo, ich komme einfach nicht auf die Lösung einer Aufgabe.

Berechnen sie den Berührpunkt bzw. Berührpunkte der Funktion

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1

und

g (x) = 2 x^{2} - 5 x + 4

Ich habe jetzt die Ableitungen von

g (x)

und

f (x)

gebildet und habe diese Gleichgesetzt. Aber irgendwie scheint mir das Falsch vor zu kommen

Ich möchte keine Lösung ich möchte nur einen Denkanstoß, was ich tun muss.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

AndreasBL aktiv_icon

17:45 Uhr, 15.02.2011

Wenn ich das richtig verstehe, ist ein Berührpunkt ein Schnittpunkt zweier Kurven, wobei an diesem Punkt beide Kurven auch noch den gleichen Anstieg haben.

Tatsächlich schneiden sich beide Kurven an einem Punkt, nämlich

(0,48; 2,07)

.
Aber die Anstiege der Funktionen sind an diesem Punkt alles andere als gleich.

Bling-bling aktiv_icon

17:53 Uhr, 15.02.2011

Hallo, ja Wenn die beiden Funktionen sich berühren muss an dem Punkt die Steigung gleich sein, und die Steigung berechnet man mit der ersten Ableitung. Mein Mathebuch sagt mir aber das die Lösung P(1|1)rauskommt. Dein Ergebnis scheint also nicht zu stimmen

: (

Trotzdem vielen Dank

Bummerang

17:59 Uhr, 15.02.2011

Hallo,

das Ergebnis von AndreasBL passt genau zu den von Dir hier eingestellten Funktionstermen! Auch der Berechnungsansatz von ihm ist korrekt! Überprüfe deshalb beide Funktionsterme insbesondere Vorzeichen und Exponenten! Der Punkt

(1,1)

liegt nicht auf dem Graphen der von Dir hier angegebenen Funktion

f,

denn

f (1) = 4

und nicht

1!

Ich gehe von einem Fehler im Term für

f

aus!

AndreasBL aktiv_icon

18:00 Uhr, 15.02.2011

Also der Punkt

(1; 1)

soll der Berührpunkt sein?

f (x) = x^{3} + 2 x + 1

f (1) = 1 + 2 + 1 = 4

und

g (x) = 2 x^{2}

−

5 x + 4

g (1) = 2 - 5 + 4 = 1

Das heißt, der Punkt

(1; 1)

liegt gar nicht auf

f (x)

.

Wie sollen sich da beide Funktionen berühren?

Und dann die Ableitungen:

f' (x) = 3 \cdot x^{2} + 2

g' (x) = 4 x - 5

f' (1) = 3 + 2 = 5

g' (1) = 4 - 5 = - 1

Soll heißen, dass

f

und

g

für

x = 1

zwei völlig unterschiedliche Anstiege haben.

Bling-bling aktiv_icon

18:06 Uhr, 15.02.2011

Tut mir Leid für eure mühen

: (

ich habe etwas in der

f (x)

Gleichung vergessen. Ich habe es im Anfangspost verbessert.

Sorry

Bummerang

18:07 Uhr, 15.02.2011

Bingo!

AndreasBL aktiv_icon

18:17 Uhr, 15.02.2011

Und kommst du nun mit der Aufgabe zurecht?

Dein Ansatz ist schon richtig: 1.Ableitung beider FUnktionen bilden und gleichsetzen.

Und dann prüfen, ob der oder die gefundenen x-Werte auch für

f (x)

und

g (x)

die gleichen Funktionswerte liefern.

Also:

f (x) = g (x)

und

f' (x) = g' (x)

Bling-bling aktiv_icon

18:32 Uhr, 15.02.2011

f' (x) = g' (x)

3 x^{2} - 6 x + 2 = 4 x - 5 | : 3

x^{2} - 2 x + \frac{2}{3} = 4 x - 5 | - \frac{2}{3} | - 4 x

x^{2} - 6 x = - 5 \frac{2}{3}

|qE

3^{2}

x^{2} - 6 x + 3^{2} = - 5 \frac{2}{3} + 3^{2} |

Binom

{(x - 3)}^{2} = 3 \frac{1}{3} | \sqrt{x}

x - 3 = (\frac{+}{-}) 1,8 | + 3

Ich bekomms nicht hin

: - (

AndreasBL aktiv_icon

18:47 Uhr, 15.02.2011

Wieso denn so kompliziert?

3 \cdot x^{2} - 6 x + 2 = 4 x - 5

3 x^{2} - 10 x + 7 = 0

x 1 = (- b +

sqrt(b^2-4ac))

/ (2 a)

x 2 = (- b - \sqrt{b^{2}}

-4ac))

/ (2 a)

a = 3

b = - 10

c = 7

x 1 = 10 + \frac{\sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 4}{6} = \frac{14}{6}

x 2 = 10 - \frac{\sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 4}{6} = \frac{6}{6} = 1

Bling-bling aktiv_icon

19:44 Uhr, 15.02.2011

Danke Andreas doch leider check ich deine Formel nicht so. Ich sehe sie gerade zum ersten Mal. Wir rechnen das eigentlich immer mit der Quatratischen Ergänzung oder pq-Formel aus. Nimms mir bitte nicht übel, ich muss für meine Prüfung gefühlt

10000

Formeln lernen :-P) und deshalb möchte ich lieber bei meinem Rechenweg bleiben.

Außerdem hab ich noch eine sehr ähnliche Aufgabe an der ich hänge:
In welchem Punkt berührt die Gerade

t (x) = 27 x - 79

die Funktion

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 36 x + 29

Mit diesen Aufgaben beiß ich mir echt die Zähne aus

: (,

hoffe jemand kann mir helfen.

Atlantik aktiv_icon

20:57 Uhr, 15.02.2011

Hallo Bling-Bling,

Nehme mal den Punkt P(u;f(u)auf der Kurve,
differenziere

f´(u)ist die Steigung in dem Punkt. Geradensteigung ist

m = 27

So jetzt kannst du

u

ausrechnen.

Alles Gute

Atlantik

Bling-bling aktiv_icon

15:15 Uhr, 16.02.2011

Hallo, ich komme immer noch nicht auf die Ergebnisse

: (

. Eben sollte ich noch Gleichsetzen und jetzt einen Punkt erraten?

Bitte hilf mir jemand. Das sind die einzigen Aufgaben an denen ich hänge.

Eine dritte Aufgabe dieser Art: Eine Parabel 3. Grades(ja das steht im Buch) mit

f (x) = - {0,5}^{3} + 6 x^{2} - 22 x + 24

berührt die Parabel 2. Grades mit

g (x) - x^{2} + 4

Bummerang

15:30 Uhr, 16.02.2011

Hallo,

ein Berührpunkt

(x, y)

zweier Graphen zu den Funktionen

f (x)

und

g (x)

ist durch 2 Eigenschaften gekennzeichnet:

1.

y = f (x) = g (x)

f' (x) = g' (x)

Beide Bedingungen müssen erfüllt sein, man löst deshalb eine der beiden Gleichungen nach

x

auf und hat dann alle

x,

an denen die Graphen sich berühren könnten. Dann setzt man die ermittelten

x

in die andere Gleichung ein. Nur für die

x,

für die auch die zweite Gleichung erfüllt ist, gehören zu Berührpunkten.

Jetzt zu Deiner Aufgabe:

Du kannst zuerst die 1. Bedingung hernehmen zur Berechnung der

x,

die diese Bedingung erfüllen. Du hast dann eine ganzrationale Funktion 3. Grades, für die es explizite Lösungsverfahren gibt, die aber in der Schule allerhöchstens im Leistungskurs eine Rolle spielen. Der Weg zur ersten Nullstelle ist hier

i . d . R

. das Raten. Hast Du ein

x

erraten, dann kannst Du mittels Polynomdivision den Grad des Ergebnispolynoms auf maximal 2 reduzieren und dann die restlichen Nullstellen explizit errechnen. Dann musst Du die maximal 3 Nullstellen in der 2. Bedingung einsetzen und die Gleichheit testen.

Du kannst aber auch die 2. Bedingung hernehmen und dort hast Du ein maximal quadratisches Polynom, dessen Nullstellen Du ermitteln musst und dafür kennst Du die Lösungsalgorithmen. Dann musst Du auch nur noch die maximal 2 Ergebnisse in der 1. Bedingung testen. Deshalb ist dieser Weg

m . E

. der einfachere, aber zum selben Ergebnis führen beide Wege!

Bling-bling aktiv_icon

16:14 Uhr, 16.02.2011

Erste Aufgabe

Berechnen sie den Berührpunkt bzw. Berührpunkte der Funktion

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1

und

g (x) = 2 x^{2} - 5 x + 4

f' (x) = g' (x)

3 x^{2} - 6 x + 2 = 4 x - 5 | : 3

x^{2} - 2 x + \frac{2}{3} = 4 x - 5 | - \frac{2}{3} | - 4 x

x^{2} - 6 x = - 5 \frac{2}{3}

|qE

3^{2}

x^{2} - 6 x + 3^{2} = - 5 \frac{2}{3} + 3^{2} |

Binom

{(x - 3)}^{2} = 3 \frac{1}{3} | \sqrt{x}

x - 3 = (\frac{+}{-}) 1,8 | + 3

x 1 = 4,8; x 2 = 1,2

f (4,8) = 52,07

g (4,8) = 26,08

f (1,2) =

blabla kann schon nicht stimmen weil

P (1 | 1)

raus kommt

- . -

g (1,2) =

hat kein Sinn .. ich checks nicht

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