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Berechnung von Möglichkeiten

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Binomialkoeffizienten

Differenzengleichungen

Erzeugende Funktionen

Graphentheorie

Inklusion-Exklusion

Kombinatorische Optimierung

Rekursives Zählen

Tags: Binomialkoeffizient, Differenzengleichung, Erzeugende Funktionen, Graphentheorie, Inklusion-Exklusion, Kombinatorische Optimierung, Rekursives Zählen

mueschbrot aktiv_icon

21:47 Uhr, 28.11.2015

Hallo ihr lieben Mathematiker!
In meiner Mathe Hausaufgabe ist ein minimales Problem aufgetaucht.

Die Frage lautet:

Maria hat 3 verschiedene Preise gekauft die an 5 Kinder verlost werden. Dazu hat sie

15

Zettel beschriftet darunter sind

12

Nieten, und 3 Gewinne

(1

. Preis, 2. Preise, 3. Preis). Jedes Kind zieht 3 Lose.
Dazu soll ich nun die Möglichkeiten berechnen... nur leider habe ich das Gefühl, dass mein Kopf beim Gedanken an die Möglichkeiten explodiert.

Mein hauptsächliches Problem ist leider: Wenn das erste Kind schon alle 3 Gewinne zieht, so können ja alle anderen nur noch Nieten ziehen.

D . h

. dass sie alle voneinander abhängig sind. Ich finde leider weder ein

n

noch ein

k

.
Hoffentlich kann mir jmd. von euch mit einem Lösungsansatz oder einer Erklärung helfen. :-) Ich möchte wirklich gerne verstehen, wie man sowas berechnet.

Macht euch noch einen schönen Abend! :-)
Thea

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Matlog aktiv_icon

00:58 Uhr, 29.11.2015

Ich würde die gesuchten Möglichkeiten in drei Kategorien aufteilen und diese getrennt berechnen:

a)

ein Kind bekommt alle drei Preise

b)

ein Kind bekommt zwei Preise, ein anderes einen Preis

c)

drei Kinder bekommen jeweils einen Preis

Matlog aktiv_icon

01:04 Uhr, 29.11.2015

Wenn Du mutig bist, könntest Du aber auch das Verlosungsverfahren verändern:
Jeder Preis wird zufällig an eines der Kinder verlost. Gibt es bei diesem veränderten Verfahren eine andere Anzahl von Möglichkeiten?

mueschbrot aktiv_icon

11:24 Uhr, 29.11.2015

Also wenn ich dich nun richtig verstanden habe, dann mach ich für

a) 5

Möglichkeiten

+

b)

da finde ich leider nichts (vll. 20?)

+

c) (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})

und dann erhalte ich

10

Roman-22

19:35 Uhr, 29.11.2015

b)

Wähle das Kind, das zwei Preise bekommen soll

\to 5

Möglichkeiten
Wähle das Kind, das einen Preis bekommen soll

\to 4

Möglichkeiten

4 \cdot 5 = 20, d . h

. deine Vermutung ist richtig.

Allerdings gehen wir da und auch bei der Lösung zu

c)

(deine Lösung ist richtig) davon aus, dass die drei Preise nicht unterscheidbar sind.
Wenn es aber, so wie du anfangs geschrieben hast, einen 1.Preis, 2.Preis, 3.Preis gibt und diese Unterschiedlichkeit auch bei der Anzahl der Möglichkeiten berücksichtigt werden soll, dann sieht die Sache bei

b)

und

c)

anders aus.
Hier gilt es also, zu klären, wie die Angabe gemeint ist bzw. wie sie genau formuliert ist.

R

mueschbrot aktiv_icon

19:56 Uhr, 29.11.2015

uhm... Ich verstehe Kombinatorik einfach nicht.
Was kann ich denn da nun für einen Lösungsansatz nehmen?
Habs grad mal mit

\frac{12!}{((12 - 3))! \cdot 3!}

versucht und da kam dann

7920

raus... Da ich ein großes Vorstellungsproblem habe, bin ich mir nicht sicher, ob das richtig sein kann

Roman-22

21:26 Uhr, 29.11.2015

Ich hab keine Ahnung, was du damit eigentlich berechnen möchtest.

Hast du schon geklärt, wie die Angabe zu interpretieren ist? Kannst du den wortgetreuen Angabetext hier posten?

R

mueschbrot aktiv_icon

21:32 Uhr, 29.11.2015

"Maria hat 3 verschiedene Preise gekauft, die an die 5 Kinder verlost werden sollen. Sie hat

15

Zettel beschriftet, darunter sind 3 Gewinnlose mit dem 1.Preis, dem 2.Preis und dem 3.Preis und

12

Nieten. Jeder zieht 3 Lose. Berechnen sie wie viele Möglichkeiten es für die Verteilung der Preise gibt."

Roman-22

21:36 Uhr, 29.11.2015

Und was genau wolltest du da mit deinem Ausdruck berechnen?

mueschbrot aktiv_icon

21:55 Uhr, 29.11.2015

Die Möglichkeiten, für die Verteilung der Preise - hab ich vergessen dazu zu schreiben.

Roman-22

22:02 Uhr, 29.11.2015

Unterschiedliche Preise oder nicht unterscheidbar?
Und welcher Gedankengang steckt da dahinter?
Der Ausdruck den du da angibts ist ja bloß der Binomialkoeffizient

(\begin{matrix} 12 \\ 3 \end{matrix}),

also zB die Anzahl der Möglichkeiten, aus

12

Elementen 3 auszuwählen.
Aus welchen

12

Elementen wählst du also 3 aus und warum?

R

mueschbrot aktiv_icon

22:08 Uhr, 29.11.2015

Also ich denke, dass die Preise unterscheidbar sind.

Und nun wo ich deine Erklärung lese, wird mir klar, dass ich ganz falsch gedacht habe.
Mein Problem ist einfach nur, dass ich nicht logisch genug für das Gebiet der Kombinatorik denken kann.
Ich möchte errechnen wie viele Möglichkeiten es für die Verteilung der 3 Preise gibt. Also zum einen, dass 1 Kind eben alle 3 bekommt, aber auch, dass ein Kind einen bekommt und ein anderes 2 usw.
Nur leider verstehe ich nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen kann, da ich so etwas nicht in der Schule hatte und auch leider nicht im Studium.

mueschbrot aktiv_icon

22:08 Uhr, 29.11.2015

Roman-22

22:18 Uhr, 29.11.2015

Na gut, für die Variante mit nicht unterscheidbaren Preisen hast du ja die Lösung schon

(35)

.

Bei unterschiedlichen Preisen ist die Vorgangsweise ähnlich:

a)

Ein Kind bekommt alle drei Preise: Wie vorhin 5 Möglichkeiten, aus 5 Kindern dieses eine zu wählen.

b)

Ein Kind bekommt einen Preis, ein weiteres Kind bekommt die beiden anderen Preise: Wir wählen erst das Kind, das einen Preis bekommt

(5

Möglichkeiten), dann den Preis, den es bekommt

(3

Möglichkeiten) und zuletzt aus den verbleibenden Kindern jenes, das die beiden anderen Preise bekommt

(4

Möglichkeiten). Insgesamt also

5 \cdot 3 \cdot 4 = 60

Möglichkeiten.

c)

Drei Kinder bekommen je einen Preis. Erst Wahl der 3 Gewinner

(\to (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = 10)

und dann permutieren wir die drei Preise

(\to 3 \neq 6)

und somit insgesamt

10 \cdot 6 = 60

Möglichkeiten.

Im Summe ergeben sich damit also

5 + 60 + 60 = 125

Möglichkeiten.

Dieses Ergebnis können wir aber auch viel einfacher erhalten. Wir nehmen die drei Preise in die Hand und verteilen sie nun auf die fünf Kinder:
Für den 3.Preis können wir beliebig aus den 5 Kindern wählen, haben somit 5 Wahlmöglichkeiten.
Für den 2.Preis können wir aber auch beliebig aus den 5 Kindern wählen und haben somit wieder 5 Wahlmöglichkeiten, die wir beliebig mit den ersten 5 kombinieren können, also halten wir bereits bei

5 \cdot 5 = 5^{2} = 25

Möglichkeiten.
Nun ist noch der Hauptpreis zu vergeben und auch dafür können wir irgend eines der 5 Kinder wählen.
Daher gibt es insgesamt

5^{3} = 125

Möglichkeiten der Aufteilung.
Formal handelt es sich um eine Variation mit Wiederholung.

\to

de.wikipedia.org/wiki/Variation_(Kombinatorik)#Variation_mit_Wiederholung

Man könnte nun natürlich die Angabe auch so interpretieren, dass auch die Reihenfolge bei der Ziehung berücksichtigt werden soll.
Dann würde es auch einen Unterschied machen, ob ein Kind Niete-Preis2-Niete gezogen hat, oder Niete-Niete-Preis2. In dem Fall gäbe es dann natürlich deutlich mehr Möglichkeiten.

R

mueschbrot aktiv_icon

22:50 Uhr, 29.11.2015

Ah! Danke! Das hat mir schon mal gut geholfen!

Wenn ich permutiere, mache ich doch einfach nur

3 \cdot 2 \cdot 1 (3!)

oder? Dann ist das jetzt echt etwas verständlicher für mich.

Ich weiß leider nicht, ob die Reihenfolge mit berücksichtigt werden soll...
Wäre der Rechenweg denn um einiges komplizierter?

Aber auf jeden Fall ein riesiges Danke an dich & Matlog! Ich hoffe einfach, dass wir ab der nächsten Vorlesung wieder Stochastik haben.

:')

Eine kleine Frage habe ich aber noch: Also was Variationen sind und was Permutation ist, habe ich jetzt in etwa verstanden... Ich habe in meinem Skript noch eine Variante.

Variation (mit Reihenfolge) von

n

Objekten auf

k

Stufen ohne Wiederholung der Objekte (Ziehen ohne zurücklegen)

m = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) ... (n - (k - 1))

m = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) ... (n - k + 1)

Hättest du vielleicht bitte ein Beispiel für mich, wo genau ich das benutze?

Roman-22

23:59 Uhr, 29.11.2015

>

Wenn ich permutiere, mache ich doch einfach nur 3⋅2⋅1(3!) oder?
Ja. Für den ersten Preis gibts 3 Möglichkeiten, für den nächsten 2 und dann bleibt nur mehr 1 Möglichkeit übrig. Und für

3 \cdot 2 \cdot 1

gibts eben die Abkürzung

3!

(Faktorielle, Fakultät).
EDIT: Sehe gerade, dass das mit den Faktoriellen im vorherigen Post durch den automatischen Formelsatz hier falsch rüber gekommen ist. Es sollte natürlich nicht

(\to 3 \neq 6)

lauten, sondern

(\to 3! = 6)

>

Wäre der Rechenweg denn um einiges komplizierter?
Zumindest anders. Aber ich glaube nicht, dass die Aufgabe so verstanden werden soll.

>

Hättest du vielleicht bitte ein Beispiel für mich, wo genau ich das benutze?
Variation ohne Wiederholung, also Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge?
Nimm an du hast eine Urne mit

15

nummerierten Losen und du ziehst nacheinander drei Lose.
Wenn dich nur interessiert, welche 3 Nummern du gezogen hast, rechnest du

(\begin{matrix} 15 \\ 3 \end{matrix}) = 455

. Das ist also eine Kombination ohne Wiederholung.
Wenn dich aber auch die Reihenfolge der gezogenen Nummern interessiert, dann rechnest du eben nach deiner Formel

15 \cdot 14 \cdot 13 = 2730

. Der Term lässt sich allgemein auch als

\frac{n!}{(n - k)!}

schreiben oder auch

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot k!

. Der letzte Ausdruck zeigt schön den Zusammenhang mit der Kombination ohne Wiederholung - es wird diese einfach mit der Anzahl der möglichen Anordnungen (Permutation)

k!

multipliziert-

R

\to

www.univie.ac.at/psy-methoden-tutorium/D-L/Kombinatorik.doc

\to

www.brefeld.homepage.t-online.de/stochastik-formeln.html

\to

de.wikipedia.org/wiki/Variation_%28Kombinatorik%29#Beispiele

mueschbrot aktiv_icon

10:10 Uhr, 30.11.2015

Ah okay! Dann verstehe ich das nun besser.
Vielen Dank! :-)
Du hast mir wirklich sehr gut geholfen. Langsam blicke ich ein wenig bei dem Thema durch.

Liebe Grüße :-)

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