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Berechnungen korrekt?

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

anonymous

18:25 Uhr, 11.01.2017

Hallo,

kann mir jemand sagen, ob ich bei meinen Berechnungen richtig vorgehe? Irgendwie kommt mir das ganze eher falsch berechnet vor, aber ich komme immer auf das selbe Ergebnis. Wäre toll, wenn jemand drüber schauen kann

Die DGL:

w' = k w - \frac{k w^{2}}{N}, w (0) = 1

Zuerst schreibe ich alles etwas um und durch Partialbruchzerlegung komme ich schließlich auf

\frac{1}{k} \int \frac{1}{w}

+ \int \frac{1}{N - w}

= \int t

\to

nach weiterem Herumrechnen komme ich auf

\frac{w}{N - w} = e^{t k} \cdot C_{1}^{k}

Durch die Anfagsbedingung komme ich schließlich auf:

\frac{w}{N - w} = e^{t k} \frac{1}{N - 1}

Kann sich vl jemand meiner annehmen und schauen,ob er/sie das selbe raus kriegt?

Herzlichen Dank,

mfg

rundblick aktiv_icon

18:48 Uhr, 11.01.2017

.
",ob er/sie das selbe raus kriegt?"

\to

er kriegt !

einziger gefundener Fehler:
in der Zeile nach " und durch Partialbruchzerlegung komme ich schließlich auf .."

darf rechts

n i c h t \to \int t

stehen .. sondern

. .

?

.. und links gilt der Faktor

\frac{1}{k}

für beide Integrale

\to

also: was fehlt links?

nebenbei:
kannst du dein "SchlussErgebnis" dann auch noch nach

\to w (t) = . .

.
umformen ?

anonymous

15:09 Uhr, 12.01.2017

Danke!

Nein, das

t

gehört noch nicht her, erst nach dem integrieren steht recht

t + c

.

Vl. kannst du mir die Frage auch beantworten, ich finde in Literatur manchmal log und manchmal

ln

beim Auflösen der Gleichung. Woher weiß ich denn, welches eigentlich korrekt ist?

Das Ergebnis schreibe ich nachher gleich noch nach

w

aufgelöst, muss zuerst nochmal durchrechnen mit dem

k,

dass ich zuerst vergessen habe.

Danke und lg

anonymous

15:42 Uhr, 12.01.2017

Insgesamt komme ich auf das Ergebnis:

w = \frac{N}{1 + (N - 1) e^{- t k}}

Kommst du auch auf dieses Ergebnis?

Danke für deine Hilfe.

rundblick aktiv_icon

16:50 Uhr, 12.01.2017

,
" Kommst du auch auf dieses Ergebnis?"

... .

. JA

- bzw.

\to w (t) = \frac{N \cdot e^{k t}}{N - 1 + e^{k t}}

(was ja mit deinem Ergebnis übereinstimmt)

" ich finde in Literatur manchmal log und manchmal

ln

beim Auflösen der Gleichung.
Woher weiß ich denn, welches eigentlich korrekt ist?"

korrekt ist

\to ln . .

. dh der natürliche Logarithmus ist derjenige zur Basis

e

normalerweise muss man bei

\to log . .

. die Basis noch angeben zB

{log}_{a} x = b \Leftrightarrow a^{b} = x

speziell verwendet wird

\to

ln .

\to

Basis

\to e

lg ..

\to

Basis

\to 10

lb ..

\to

Basis

\to 2

leider wird bei manchen Rechnern/ manchen Texten log statt

ln

verwendet.

.

anonymous

21:30 Uhr, 12.01.2017

Vielen Dank!

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