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Bestimmen der Tangentialebene im Punkt (x,y,z)....

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

Benny1186 aktiv_icon

14:09 Uhr, 21.06.2011

Hallo,

Wie habe ich folgende Aufgabe zu verstehen?

Sei f(x,y)=2x³y-x²y³ und g(x,y)=3xy³+x³y²-5.

Bestimmen sie

a.) die Tangentialebene der Fläche z=f(x,y) im Punkt (1,1,1)

b.) die Tangentialebene der Fläche z=f(x,y) im Punkt (1,1,-1)

Kann mir da jemand weiter helfen?

Vielen Dank

Benny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

09:38 Uhr, 22.06.2011

Hallo,

zunächst mal soll das bei

b)

sicher

z = g (x, y)

heißen.
Die Tangentialebene ist nichts anderes, als eine Taylorentwicklung von

f

(bzw.

g)

um den Punkt

(x_{0}, y_{0}),

die nach den linearen Gliedern abgebrochen wurde:

t = f (x_{0}, y_{0}) + \frac{\partial}{\partial x} f (x_{0}, y_{0}) \cdot (x - x_{0}) + \frac{\partial}{\partial y} f (x_{0}, y_{0}) \cdot (y - y_{0})

In Deinem Fall ist

(x_{0}, y_{0}) = (1,1)

. Die z-Komponente in den angegebenen Vektoren ist jeweils der Funktionswert an der Stelle

(x_{0}, y_{0}) (f (1,1) = 1

und

g (1,1) = - 1

Viele Grüße
Yokozuna

Benny1186 aktiv_icon

09:51 Uhr, 22.06.2011

Hey.

du hast recht, es soll g(x,y) sein.

Also meine Rechnung sieht wie folgt aus für a):

$\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = 6 x² y - 2 x y³$

$\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = 2 x³ - x² 3 y²$

$\frac{\partial f}{\partial x} (1, 1, 1) = 6 - 2 = 4$

$\frac{\partial f}{\partial y} (1, 1, 1) = 2 - 3 = - 1$

$f (1, 1, 1) = 1$

einsetzen:

$z = 1 + 4 * (x - 1) - 1 * (y - 1)$

$z = 1 + 4 x - 4 - y + 1$

$z = 4 x - y - 2$

kommt das hin?

Und mal ne Frage am Rande. Wenn ich 2xy³ nach y ableite, kommt dann da x²3y² oder 6xy² raus? Bin da nicht so sicher.

Gruß Benny

Yokozuna aktiv_icon

10:06 Uhr, 22.06.2011

Ja, das Ergebnis ist richtig. Wenn man alles auf eine Seite bringt, hat man die Ebenengleichung in Normalenform:

4 x - y - z - 2 = 0

.

Die Funktion

f

hat nur 2 Parameter. Deshalb muß es heißen

\frac{\partial f}{\partial x} (1,1) = 4, \frac{\partial f}{\partial y} (1,1) = - 1

und

f (1,1) = 1

Bei der partiellen Ableitung nach

y

wird ja

x

als Konstante behandelt. Deshalb ist

\frac{\partial}{\partial y} (2 \cdot x \cdot y^{3}) = 2 \cdot x \cdot \frac{\partial}{\partial y} (y^{3}) = 2 \cdot x \cdot 3 \cdot y^{2} = 6 \cdot x \cdot y^{2}

Viele Grüße
Yokozuna

Benny1186 aktiv_icon

10:47 Uhr, 22.06.2011

wenn ich die Antwort ausdrücken will schreibe ich z=4x-y-2 oder einfach nur 4x-y+z-2?

Yokozuna aktiv_icon

10:56 Uhr, 22.06.2011

Wenn man beim zweiten Ausdruck noch ein "= 0" hinzufügt, sind beide Gleichungen völlig gleichwertig. Die zweite Darstellung (mit "= 0", also

4 x - y - z - 2 = 0)

würde ich bevorzugen, weil das übliche Darstellung einer Ebene in Normalenform ist.

4 x - y - z - 2

für sich alleine ist nur ein Ausdruck und keine Ebenengleichung.

Viele Grüße
Yokozuna

Benny1186 aktiv_icon

13:53 Uhr, 22.06.2011

Verstanden.

Hab hier jetzt mal Aufgabe b. gerechnet. Kannste mal einen Blick drauf werfen ob es richtig ist und ich es somit kapiert habe.Danke

B.) g(x,y)=3xy³+x³y²-5

Bestimmen Sie die Tangentialebene der Fläche z=g(x,y) im Punkt (1,1,-1)

$\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = 3 y³ + 3 x² y²$

$\frac{\partial f}{\partial x} (1, 1) = 3 + 3 = 6$

$\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = 9 x y² + 2 x³ y$

$\frac{\partial f}{\partial y} (1, 1) = 9 + 2 = 11$

$f (1, 1) = - 1$

z=-1+6*(x-1)+11*(y-1)

z=-1+6x-6+11y-11

z=6x+11y-18

6x+11y-z-18=0

Hoffe das es so korrekt ist.

Gruß Benny

Yokozuna aktiv_icon

14:04 Uhr, 22.06.2011

Glückwunsch, es ist alles perfekt richtig.

Viele Grüße
Yokozuna

Benny1186 aktiv_icon

19:50 Uhr, 22.06.2011

ich danke dir für die gute Hilfe!

Gruß Benny

Benny1186 aktiv_icon

22:06 Uhr, 22.06.2011

Hey,

zu Aufgabe gibt es dann noch eine Unteraufgabe. Diese lautet:

Bestimmen Sie den Schnittpunkt (x1,y1,0) dieser beiden Tangentialebenen mit der Ebene z=0.

Wie macht man das?

Gruß Benny

Yokozuna aktiv_icon

22:14 Uhr, 22.06.2011

Zunächst mal, wenn sich zwei Ebenen schneiden, gibt es keinen Schnittpunkt sondern eine Schnittgerade (außer die beiden Ebenen sind parallel zueinander). Die Ebene

z = 0

ist ja die xy-Ebene,

d . h .,

die Schnittgerade befindet sich auch auf jeden Fall in der xy-Ebene. Die Bestimmung der Schnittgeraden ist ganz einfach. Du nimmst die Gleichung der Tangentialebene,

z . B

4 x - y - z - 2 = 0

und setzt dort

z = 0

ein.Dann erhältst Du:

4 x - y - 2 = 0 \Rightarrow y = 4 x - 2

Das ist Deine Schnittgerade.

Viele Grüße
Yokozuna

Benny1186 aktiv_icon

22:28 Uhr, 22.06.2011

und warum löse ich nur nach y auf? Ist das dann der Schnittpunkt (x1,y1,0)? Also auf meinem Aufgabenzettel von der Uni steht SchnittPUNKT.

Gruß Benny

Yokozuna aktiv_icon

22:43 Uhr, 22.06.2011

Also zwei Ebenen schneiden sich entweder gar nicht (wenn sie parallel, aber verschieden sind), oder die Schnittmenge ist die Ebene selbst, falls sie identisch sind oder sie schneiden sich in einer Geraden. Einen Schnittpunkt gibt es definitiv nicht (die Leute von der Uni, die solche Aufgabenblätter produzieren, sind ja auch nur Menschen).
Wenn man 3 Ebenen miteinander schneidet, bekommt man, je nach Lage der 3 Ebenen zueinander ggf. auch einen Schnittpunkt. Wenn die Aufgabe

z . B

. hieße, bestimme den Schnittpunkt der Tangentialebene mit den Ebenen

z = 0

und

y = 0,

dann hätte man wirklich nur einen Schnittpunkt. Aber Du hast ja in Deiner Angabe nur von einer Ebene

z = 0

gesprochen.

Viele Grüße
Yokozuna

Benny1186 aktiv_icon

23:00 Uhr, 22.06.2011

also reicht es nur y= zu schreiben oder löse ich da für z=0 nach x und y auf?

Yokozuna aktiv_icon

23:06 Uhr, 22.06.2011

Ich habe halt nach

y

aufglöst, weil das die übliche Darstellung einer Geradengleichung ist, aber man kann genauso gut

4 x - y - 2 = 0

stehen lassen. Aber eine dieser Darstellungen reicht. Man braucht sicher nicht alle möglichen Auflösungen da hinschreiben.

Benny1186 aktiv_icon

23:11 Uhr, 22.06.2011

okay, danke.

Ich muss mich jetzt leider hinlegen, da meine Tochter gerade nicht wieder alleine einschlafen will.

Ich schreibe morgen Abend eine Klausur und habe hier im Forum noch zwei offene Fragen, wo mir noch niemand helfen konnte/wollte. Vielleicht kannst du mir da noch mal kurz einen Tipp geben. Werde mich morgen früh gleich wieder hier ans Forum setzen.

Ich bin dir echt verdammt dankbar für deine schnelle kompetente Hilfe!!!!

Kann man dich hier irgendwo im Forum für das Bundesverdienstkreuz vorschlagen? ;)

Also nochmal danke!

Gute Nacht

bis morgen

Gruß Benny

matthias1986 aktiv_icon

15:28 Uhr, 11.08.2012

Hallo, auch von mir Danke für diese Erklärung.
Wie bestimme ich nun die Flächennormale im Punkt P? Also die Gerade die durch

P

geht und orthogonal zur Tangentialebene ist?

Gruß
Matthias

Stoppi aktiv_icon

19:07 Uhr, 26.04.2014

Eines hab ich dabei noch nicht verstanden:
In der Angabe des Bsp. b)des ersten Beitrags dieses Threads steht der Punkt mit

P (1,1, - 1)

gegeben. Hier ist also

z = - 1

. Dieses

- 1

kommt aber nirgends vor. Ich hab hier als Angabe

f (x, y) = x^{2} y + x^{2} - y - 1

Dabei soll eine Tangentialebene im Punkt

P (- 2,1,6)

berechnet werden. Was also mache ich mit dieser 6?

Ich bekomme für die Ebene die Gleichung

z = - 8 x + 3 y - 13

Soll es dann heißen

z = 6 = - 8 x + 3 y - 13 \Rightarrow 0 = - 8 x + 3 y - 19

Yokozuna aktiv_icon

22:40 Uhr, 26.04.2014

Hallo,

der Punkt

P (- 2,1,6)

liegt ja zum einen auf der Fläche der Funktion

f (x, y) = x^{2} \cdot y + x^{2} - y - 1,

denn

f (- 2,1) = 6

und der Punkt

P

liegt natürlich auch auf der Tangentialebene, die ja so konstruiert wurde, dass sie genau durch den Punkt

P

geht.

P

erfüllt also auch die Ebenengleichung

z = - 8 \cdot x + 3 \cdot y - 13

.
Wenn Du

6 = - 8 \cdot x + 3 \cdot y - 13

setzt, dann erhältst Du eine Geradengleichung in der x-y-Ebene und alle Punkte

(x, y)

auf dieser Geraden liefern, eingesetzt in die Gleichung der Tangentialebene den Wert

z = 6

(das ist sozusagen eine Linie gleicher Höhe auf der Tangentialebene).

Viele Grüße
Yokozuna

danino aktiv_icon

19:08 Uhr, 18.06.2014

Ist es denn auch möglich die Tangentialebene darzustellen, ohne die Funktion nach z umzustellen?
Also:

t = f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + \frac{\partial}{\partial x} f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot (x - x_{0}) + \frac{\partial}{\partial y} f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot (y - y_{0}) + \frac{\partial}{\partial z} f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot (z - z_{0})

danke

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