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Bestimmtes Integral bestimmen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Wie berechnet man ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln zum Integral
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenberechnung und bestimmtes Integral

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

1) Bestimme eine Stammfunktion von

f (x)

.

2) In die Formel einsetzen und berechnen.

Zu

1 .)

(Stammfunktion bestimmen)

Es gibt für alle Grundtypen von Funktionen Stammfunktionen.
(Die wichtigsten findest Du im Artikel Stammfunktion)

Zudem gibt es mehrere Regeln, wie man mit Faktoren und Summen unter einem Integral umgehen darf (siehe Rechenregeln zum Integral)

Ausführlicher Weg (für Anfänger):

\int_{1}^{2} 3 x^{2} + 2 x d x = \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 2 x d x,

\int_{a}^{b} f (x) + g (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

(Summenregel für Integrale)

\int_{1}^{2} 3 x^{2} + 2 x d x = \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 2 x d x = 3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + 2 \int_{1}^{2} x d x,

\int_{a}^{b} c \cdot f (x) d x = c \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x

(Faktorregel für Integrale)

Die Stammfunktion von

f (x) = x^{2}

ist

F (x) = \frac{x^{3}}{3}

.

Die Stammfunktion von

f (x) = x

ist

F (x) = \frac{x^{2}}{2}

.

Kurzer Weg (für Fortgeschrittene):

Die Stammfunktion von

f (x) = 3 x^{2} + 2 x

ist

F (x) = 3 \frac{x^{3}}{3} + 2 \frac{x^{2}}{2} = x^{3} + x^{2}

2 .)

(Einsetzen und berechnen)

Ausführlicher Weg (für Anfänger):

3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + 2 \int_{1}^{2} x d x = 3 {[\frac{x^{3}}{3}]}_{1}^{2} + 2 {[\frac{x^{2}}{2}]}_{1}^{2} = 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) = 8 - 1 + 4 - 1 = 10

Kurzer Weg (für Fortgeschrittene):

\int_{1}^{2} 3 x^{2} + 2 x d x = {[x^{3} + x^{2}]}_{1}^{2} = (2^{3} + 2^{2}) - (1^{3} + 1^{2}) = 8 + 4 - 1 - 1 = 10

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