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Beweis Äquivalenzralation per Integral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Äquivalenzreation, Integration

San09 aktiv_icon

12:47 Uhr, 30.06.2016

Hallo zusammen!

Ich habe Frage zur Lösung folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

R = {(a, b) \in ℝ ∣ \int_{a}^{b} f (x) d x = 0}

Bei dem zeigen der Symmetrie bin ich mir nicht sicher wie es genau richtig ist.

Muss ich beim zeigen von

a R b \Rightarrow b R a

mich an die Gesetzmäßigkeiten der Integralrechnung halten also in diesem Fall:

Definition: ist a>b und existiert

\int_{b}^{a} f (x) d x

, so setzt man

\int_{a}^{b} f (x) d x := - \int_{b}^{a} f (x) d x

oder ist es dann wirklich

a R b \Rightarrow b R a

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{b}^{a} f (x) d x = 0

und es ist egal ob a größer oder kleiner b ist und man setzt kein Minus vor das Integral.

In diesem Fall ist es noch egal da in beiden Fällen 0 (-0 und 0) rauskommt.
Heißt die Aufgabe aber nicht mehr

R = {(a, b) \in ℝ ∣ \int_{a}^{b} f (x) d x = 0}

sondern

R = {(a, b) \in ℝ ∣ \int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0}

kommt man auf unterschiedliche Ergebnisse.

Vielen Dank im Voraus ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Bummerang

13:01 Uhr, 30.06.2016

Hallo,

ich glaube, Du denkst einfach zu kompliziert und siehst deshalb am Ende eine Frage, wo gar keine Frage ist!

Der klassische Weg ist doch, dass man ein beliebiges Paar

(a, b) \in R

wählt, für das nach Definition von

R

gilt

\int_{a}^{b} f (f) d x

. Jetzt ist einfach zu prüfen/beweisen/widerlegen, dass dann auch

(b, a) \in R

ist. Dazu berechnest Du einfach:

\int_{b}^{a} f (x) d x =_{(I n t e g r a l r e c h n u n g)} = - \int_{a}^{b} f (x) d x =_{(D e f i n i t i o n v o n R)} = - 0 = 0 \Rightarrow (b, a) \in R

Dabei ist es laut Integralrechnung doch vollkommen egal, ob a oder

b

größer ist, ja es dürfen sogar a und

b

gleich sein!

PS: Deine Definition ist so, wie sie hier steht falsch, denn es muss heissen

R = {(a, b) \in ℝ^{2} | \int_{a}^{b} f (x) d x = 0}

San09 aktiv_icon

13:53 Uhr, 30.06.2016

Danke schon mal für die schnelle Antwort. Also muss ich mich schon mal an die Gesetzmäßigkeit halten, dass ich beim tauschen der Integrationsgrenzen ein Minus vor das Integral setzte.

Dann hätte ich noch eine Frage zu dem Fall

{R = (a, b) \in R^{2} ∣ \int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0}

Der Ansatz eines Kommilitonen sieht beim zeigen der Symmetrie wie folgt aus:

\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0 \Rightarrow - \int_{b}^{a} f (x) d x \geq 0 \Rightarrow \int_{b}^{a} f (x) d x \leq 0

Damit ist R nicht symmetrisch.

Mein Ansatz dagegen sieht wie folgt aus.

\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0 = F (b) - F (a) \geq 0

F() = Stammfkt.

\Rightarrow F (b) \geq F (a)

\int_{a}^{b} f (x) d x := - \int_{b}^{a} f (x) d x = - (F (a) - F (b)) = - F (a) + F (b) \geq 0

(weil

F (b) \geq F (a)

)

Damit ist R symmetrisch.

Welche der beiden Ansätze wäre in diesem Fall der richtige bzw. ist R in diesem Fall symmetrisch oder nicht ?

Bummerang

16:08 Uhr, 30.06.2016

Hallo,

was Du mit Deiner Aktion bewiesen hast ist, dass aus

(a, b) \in R

und damit gilt ja schon

\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0

folgt, dass

\int_{a}^{b} f (x) \geq 0

ist. Wau! Klassiker des Katze-Schwanz-Problems!

Du musst ja zeigen, was

\int_{b}^{a} f (x) d x

ist!

San09 aktiv_icon

18:31 Uhr, 30.06.2016

Hey,

wäre dann der Ansatz des Kommilitonen richtig?

Ich habe jetzt noch rumprobiert komme am Ende aber immer wieder auf das ungefähr gleiche Ergebnis wie in meinem ersten Ansatz.

ledum aktiv_icon

01:15 Uhr, 01.07.2016

Hallo
der Ansatz deines Kollegen ist richtig, dein Anfang mit

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

dann aber

\int_{b}^{a} f (x) d x = F (a) - F (b) = - (F (b) - F (a))

also unsym.
Gruß ledum

San09 aktiv_icon

09:59 Uhr, 01.07.2016

Vielen Dank :-)

San09 aktiv_icon

10:00 Uhr, 01.07.2016

Vielen Dank :-)

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