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Beweis Cauchyscher Grenzwertsatz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

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nanahä aktiv_icon

11:23 Uhr, 25.05.2016

hey leute, bin echt verzweifelt
ich habe mir im internet

100000000

beweise zum cauchyschen grenzwertsatz durchgelesen aber ich checks einfach nie. ich muss ihn aber für eine hausaufgabe selbst beweisen, also würd ichs gerne auch verstehen...

hm ich hab so viele ansätze gesehen, ich weiß garnicht wie ich anfangen soll.
ich bin echt dankbar darüber wenn mir jemand seine lösung erklärt!!

pwmeyer aktiv_icon

11:39 Uhr, 25.05.2016

Hallo,

es ist doch illusorisch, dass hier jemand den Beweis komplett hinschreiben kann - "besser" als die

10000000000

anderen, die das schon getan haben.

Schreib Du doch einen der Beweise hierhin und stoppe bei der ersten Unklarheit.

Gruß pwm

nanahä aktiv_icon

12:07 Uhr, 25.05.2016

na ich dachte wenn ihn mir jemand erklärt so wie er ihn am besten versteht, kann ich ihn gleich fragen wenn was unklar ist und mit ihm ins gespräch kommen...
aber ok dann such ich mir halt irgendeinen raus:
also zum beispiel

ist ein

ε > 0

vorgegeben so gibt es ein

N \in ℕ

mit

| a_{n} - a | < ε

für alle

n > N

für

n > N

gilt also

| \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n} - a |

= | \frac{(a_{1} - a) + ... + (a_{N} - a) + (a_{N + 1} - a) + ... + (a_{n} - a)}{n} |

ok die folgende abschätzung verstehe ich nicht

\leq \frac{| a_{1} - a | + ... + | a_{N} - a |}{n} + \frac{(n - N) ε}{n}

die abschätzung verstehe ich auch nicht

< \frac{| a_{1} - a | + ... + | a_{N} - a |}{n} + ε

und das versteh ich auch nicht.. welcher bruch?
"ab einem gewissen index wird auch der bruch ganz rechts kleiner als

ε,

woraus die behauptung folgt"

und dann soll es bewiesen sein..

pwmeyer aktiv_icon

13:09 Uhr, 25.05.2016

Hallo,

\sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k} - a}{n} = \sum_{k = 1}^{N} \frac{a_{k} - a}{n} + \sum_{k = N + 1}^{n} \frac{a_{k} - a}{n}

Also

| \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k} - a}{n} | \leq \sum_{k = 1}^{N} \frac{| a_{k} - a |}{n} + \sum_{k = N + 1}^{n} \frac{| a_{k} - a |}{n}

Der 1. Summand auf der rechten Seite hat die Form

\frac{1}{n} \cdot A

mit

A = \sum_{k = 1}^{N} | a_{k} - a |,

also mit einer festen Zahl A. Deshalb

\frac{A}{n} < ε

für hinreichen großes

n

.

Beim 2. Summand auf der rechten Seite sind alle

| a_{k} - a | < ε,

also gilt die Abschätzung:

\sum_{k = N + 1}^{n} \frac{| a_{k} - a |}{n} \leq \sum_{k = N + 1}^{n} \frac{ε}{n} = \frac{n - N}{n} \cdot ε \leq 1 \cdot ε

Gruß pwm

nanahä aktiv_icon

14:13 Uhr, 25.05.2016

ist der beweis dann beendet? also wars das?

pwmeyer aktiv_icon

17:01 Uhr, 25.05.2016

Das wars

nanahä aktiv_icon

08:14 Uhr, 27.05.2016

vielen dank nochmal!!

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