Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis Homomorphismus, bild, kern

Beweis Homomorphismus, bild, kern

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

anonymous

14:43 Uhr, 05.12.2009

Hallo

Ich bräuchte hilfe bei folgender Aufgabe:

seien

f : U \to V, g : V \to W

und g°f:

U \to W

Homomorphismen.

Zeige:

g°f=0

\Leftrightarrow

Bild(f)

\subseteq

Kern(g)

Ich weiß nicht genau wie ich das beweisen soll.

Für die

< -

Richtung habe ich folgendes:

wenn

x

in Bild(f), also gilt:
es gibt

u

mit

f (u) = x

wenn

x

in Bild(f), dann ist

x

auch in Kern(g), also gilt auch:

g (0) = x

Da die Abbildung

g

ein Homomorphismus ist, muss gelten

x = 0,

sowie muss gelten, da auch

f

ein Homomorphismus ist:

u = 0

Daraus folgt:
g°f=g(f(u))=g(f(0))=g(0)=0

Ist das so richtig?
Ich weiß nicht wie ich die andere Richgung beweisen soll.

LG
Nicole

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

15:09 Uhr, 05.12.2009

Nee, da wo du "muss gelten x=0" bzw. "u=0" schließen möchtest, bräuchtest du Injektivität.

Wenn

g \circ f = 0

ist, dann heisst das:
Für alle

x \in U

ist

g (f (u)) = 0, d . h

. für jedes

v \in B i l d (f)

können wir ein

x \in U

mit

f (x) = v

finden. Dann ist aber

g (v) = g (f (x)) = 0,

also

v \in \in k e r (g),

insgesamt also

B i l d (f) \subseteq k e r (g)

.

Umgekehrt folgt aus

B i l d (f) \subseteq k e r (g),

dass für beliebiges

x \in U

natürlich

f (x) \in B i l d (f) \subseteq k e r (g),

folglich

g (f (x)) = 0

gilt.

HP7289 aktiv_icon

15:10 Uhr, 05.12.2009

Das ist nicht ganz richtig aufgeschrieben.

"

\Rightarrow

":

Sei

y \in

Bild(f).

\Rightarrow \exists x \in U : f (x) = y

\Rightarrow g (y) = g (f (x)) = (g \circ f) (x) = 0

\Rightarrow y \in

Kern

(g)

Also ist Bild(f)

\subseteq

Kern(g)

Die andere Richtung ist nicht mal so anders.

"

\Leftarrow

":

Betrachte

(g \circ f) (x)

für ein beliebiges

x \in U

. Du musst zeigen, dass immer 0 rauskommt. Kannst du das?

anonymous

14:34 Uhr, 06.12.2009

Ich weiß nicht wie ich das bei der anderen Richtung zeigen soll...

michaL aktiv_icon

15:26 Uhr, 06.12.2009

Hallo Nicole,

schön finde ich für die andere Richtung, wenn man vom Gegenteil ausgeht, also von

Im (f) \subseteq ∣ Ker (g)

. Dann gibt es nämlich ein

x \in Im (f) \ Ker (g)

.
Was ist mit

g \circ f (x)

???

Mfg Michael

anonymous

21:11 Uhr, 07.12.2009

hallo ich weiß immer noch nicht ganz wie ich die Richtung

< -

beweisen soll....

HP7289 aktiv_icon

21:14 Uhr, 07.12.2009

Sei

x \in U

beliebig.

Dann ist

(g \circ f) (x) = g (f (x))

f (x) \in

Bild(f).

Nach Vorraussetzung folgt:

f (x) \in

Kern(g)

\Rightarrow (g \circ f) (x) = g (f (x)) = 0 \forall x \in U

anonymous

21:14 Uhr, 07.12.2009

danke, das war ja ganz einfach und mehr muss man nicht tun?

HP7289 aktiv_icon

21:15 Uhr, 07.12.2009

Nein.

anonymous

21:15 Uhr, 07.12.2009

vielen Dank! :-)

anonymous

21:25 Uhr, 07.12.2009

danke für die Hilfe!

692502

690987

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?