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Beweis - Quadrat
Schüler Fachschulen, 9. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 14:14 Uhr, 10.03.2004  |
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Hallo nochmal, auch hier habe ich Probleme : Beweisen Sie : Unter allen umfangsgleichen Rechtecken besitzt das Quadrat den größten Flächeninhalt. Vielleicht hat auch hier jemand einen Tipp. Danke, Martin |
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Der einheitliche Umfang der umfangleichen Rechtecke sei U. Ihre Seitenlängen seien a und b. Dann ist U = 2a+2b. Der Flächeninhalt ist allgemein: A(a,b) = a*b. Mit U = 2a+2b folgt für bspw. a = U/2 - b. Also ist A(U,b) = (U/2 - b) * b = U/2*b - b^2. Wenn der Umfang konstannt ist, ist A nur noch Funktion von b: A(b) = U/2*b - b^2 = -(b-U/4)^2 + (U/4)^2. Das ist die Scheitelform der Parabel. Die Parabel ist nach unten geöffnet und hat ihr Maximum im Scheitelpunkt, also für b = U/4. Dann ist aber a = U/2 - b = U/2 - U/4 = U/4 = b. Also ist die Fläche maximal, wenn a=b. Das ist ein Quadrat. hih, rad238 |
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Auch wenn das schon etwas älter ist, ich habe dazu mal ne frage.... erklärt mir das doch bitte mal für ältere Mädchen: wie kommt man von dieser Formel "A(b) = U/2*b - b^2 zu dieser: A(b) = -(b-U/4)^2 + (U/4)^2. Vielen Dank für die Mühe Ifeline |
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Hallo, durch quadratische Ergänzung! A(b) = U/2*b - b^2 A(b) = 2*U/4*b - b^2 A(b) = (U/4)^2 - (U/4)^2 + 2*U/4*b - b^2 A(b) = (U/4)^2 - [ (U/4)^2 - 2*U/4*b + b^2 ] ; eckige Klammern hier nur um die binomische Formel deutlicher sichtbar zu machen! A(b) = (U/4)^2 - [ b^2 - 2*U/4*b + (U/4)^2 ] A(b) = (U/4)^2 - (b - U/4)^2 A(b) = -(b-U/4)^2 + (U/4)^2 |
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