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Beweis n^3 ist kleiner,gleich 3^n

Schüler

Tags: Induktion

 
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Janine588

Janine588 aktiv_icon

23:02 Uhr, 10.12.2016

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n3 ist kleiner gleich 3n ich komme bei dem Beweis nicht weiter. Habe bis jetzt das daraus folgt das (n+1) kleiner als 3n+1 ist das habe ich dann aufgelöst und somit n3+3n2+3n+1 ist kleiner als 3n+3n2+3n+1
Aber jetzt komme ich irgendwie nicht weiter.
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mihisu

mihisu aktiv_icon

23:24 Uhr, 10.12.2016

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Vielleicht geht es auch einfacher. Aber ich würde so vorgehen:

Zeige mit vollständiger Induktion:

n33n

Induktionsanfang sollte kein Problem sein.
Tipp: Zeige dies nicht nur für n=0 bzw. n=1 sondern für alle in n{0,1,2,3}.

Beim Induktionsschritt verwende: (n+1)3=n3+3n2+3n+1
Und zeige dass 3n+3n2+1n32 für n3 ist, womit 3n2+3n+12n3 folgt.
Janine588

Janine588 aktiv_icon

23:44 Uhr, 10.12.2016

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wie kommst du denn darauf? Weil wir hatten den Ansatz den ich oben hingeschrieben hatte so in der Uni besprochen
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mihisu

mihisu aktiv_icon

01:26 Uhr, 11.12.2016

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Zunächst zur Frage, wie ich auf meinen Ansatz gekommen bin:

(n+1)3=n3+3n2+3n+1
und das soll kleiner sein als
3n+1=33n=3n+23n.

Nach Induktionsvoraussetzung kann man n33n abschätzen. Wenn nun 3n2+3n+12n3 ist kann ich auch dann auch 3n2+3n+12n323n abschätzen, erhalte also:

(n+1)3=n3+3n2+3n+1n3+2n3=3n333n=3n+1

Und dann habe ich mir überlegt, ob bzw. wann man 3n2+3n+12n3 hat. Dies ist dann der Fall wenn 3n+3n2+1n32 ist, wobei man für n3 die Abschätzung 3n+3n2+1n333+332+133=1+10272
machen kann.

So bin ich darauf gekommen.

\\\\

Das lässt sich auch genauso mit deinem Ansatz aus der Uni machen:

Nach Induktionsvoraussetzung n33n hast du zunächst:
(n+1)3=n3+3n2+3n+13n+3n2+3n+1

Soweit warst du.
Du brauchst für den Beweis jedoch (n+1)33n+1.

Wenn du also 3n+3n2+3n+13n+1 abschätzen kannst, bist du im Grunde fertig.
Wann ist nun 3n+3n2+3n+13n+1? Dazu kannst du auf beiden Seiten 3n subtrahieren und erhälst:
3n2+3n+123n.
Wie kann man das nun zeigen? Naja, wegen n33n nach Induktionsvoraussetzung wäre es gut, wenn 3n2+3n+12n3 wäre, da du dann 2n3 durch 23n abschätzen kannst.

Und 3n2+3n+12n3 kann man für n3 zeigen. Beispielsweise indem man 3n2+3n+1n31+10272 für n3 abschätzt.
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Stephan4

Stephan4

11:18 Uhr, 11.12.2016

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Love, so kommst Du weiter: Lass bei Deinem Ansatz
"somit n3+32+3n+1 ist kleiner als 3n+3n2+3n+1 "
auf beiden Seiten einfach die gleichen Sachen weg, damit bleibt:
  n3<3n
was ja für n=1 bis 3 sicher stimmt (Kopfrechnung). Und wenn's für 3 stimmt, dann tut es ja auch für 4, wie Du selbst zu beweisen begonnen hast (und hier fertig gestellt wurde).

:-)