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Beweis zu qaudaratische Formen

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, nichtausgeartete quadratische Formen, p-adische Zahlen

alexis02 aktiv_icon

20:50 Uhr, 17.07.2012

Seien f und f´ nichtausgeartete quadratische Formen in n Unbestimmten über den Körper Rp, δ und δ´ ihre Determinanten. Man zeige, dass f und f´ dann und nur dann äquivalent sind, wenn cp (f)=cp (f´)und δ=δ`α^2 ist (αϵRp).

Rp ist der Körper der p-adischen Zahlen.

Muss diesen Beweis ausführen, weiß aber leider nicht wie ich das anstelle! Vielleicht hat jemand einen Vorschlag für mich! Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

23:14 Uhr, 18.07.2012

Ich nehme an, mit Determinante von

f

ist die Determinante der zugehörigen (durch Polarisation gewonnenen) Bilinearform gemeint?
Aber was ist cp?

alexis02 aktiv_icon

15:23 Uhr, 19.07.2012

Leider weiß ich auch nicht was cp sein soll! Finde ich auch in der Literatur nicht!

hagman aktiv_icon

19:36 Uhr, 19.07.2012

Der Text, aus dem du die Aufgabenstellung zitiert hast, oder eine zugehörige Vorlesung

o

.ä. muss vorher eine Definition von cp beinhalten. Schließlich handelt es sich um einen mathematischen Text.

alexis02 aktiv_icon

11:44 Uhr, 20.07.2012

Hallo habe folgendes dazu gefunden:
Sei

f = α_{1} x_{1}^{2} + \dots + a_{n} x_{n}^{2} (α_{i} \in R_{p}^{*})

. Dann wir der Ausdruck

c_{p} (f) = (- 1, - 1) \prod_{(} 1 \leq i \leq j \leq n) ▒ 〖 (α_{i}, α_{j} 〗)

als Hasse-Symbol bezeichnet.

c_{p} (α x^{2} + f) = c_{p} (f) (α, - α)

c_{p} (α x^{2} + β y^{2} + f) = c_{p} (f) (α β, - δ) (α, β)

(δ Determinante von f)
Das Hasse- Symbol kann man auch für eine beliebige ausgeartete quadratische Form f definieren:
Sei

f_{0}

eine zu f äquivalente Diagonalform. Dann setzen wir

c_{p} (f) = c_{p} (f_{0})

.

Des weiteren gilt: Seien

f_{1}

und

f_{2}

zwei nichtausgeartete quadratische Formen über dem Körper

R_{p}

mit den Determinanten

δ_{1} \neq 0

und

δ_{2} \neq 0

〖 c 〗_{p} (f_{1} + f_{2}) = c_{p} (f_{1}) c_{p} (f_{2}) (- 1, - 1) (δ_{1}, δ_{2})

.

Sei f eine nichtausgeartete quadratische Form über dem Körper

R_{p} δ

ihre Determinante und

\propto

eine von null verschiedene Zahl des Körpers

R_{p}

, dann gilt:

c_{p} (α, f) = █ (c_{p} (f) (α, (- 1)^{(} (n + 1) / 2)

für ungerade n und

c_{p} (f) (α, (- 1)^{(} n / 2) δ)

für gerade n

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