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Tags: Beweis, Gleichheit

15062k07 aktiv_icon

21:39 Uhr, 24.05.2016

Hallo! Ich brauche Hilfe bei folgendem Beweis: Zeigen Sie, dass

| a \cdot b | = | a | \cdot | b |

Könnte mir jemand helfen, wie genau man diesen Beweis korrekt führt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Respon

21:58 Uhr, 24.05.2016

Fallunterscheidung

Sams83 aktiv_icon

22:08 Uhr, 24.05.2016

...oder die Definition für allgemein komplexe Zahlen ausnutzen:

| z | = \sqrt{z \cdot \bar{z}}

| x \cdot y | = \sqrt{(x \cdot y) \cdot \bar{x \cdot y}} = . .

15062k07 aktiv_icon

14:43 Uhr, 25.05.2016

Leider kann ich mir darunter nichts vorstellen,was genau bringt mir eine Fallunterscheidung ? Und in wie weit hilft mir die Formel da weiter?

Atlantik aktiv_icon

15:33 Uhr, 25.05.2016

Oder so:

| a \cdot b | = | a | \cdot | b |

\sqrt{{(a \cdot b)}^{2}} = \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{b^{2}}

\sqrt{a^{2} \cdot b^{2}} = \sqrt{a^{2} \cdot b^{2}}

mfG

Atlantik

oculus aktiv_icon

18:08 Uhr, 25.05.2016

Für einen exakten Beweis müsstest du wissen, was die Vorzeichenfunktion sgn(x) bedeutet, die so definiert ist:

sgn

(x) := - 1

für

x < 0,

sgn(x):=0 für

x = 0,

sgn(x)

:= 1

für

x > 0

Damit zusammen hängt die Definition des absoluten Betrages einer reellen Zahl

| x | :=

x*sgn(x)

Beispiel: |-7|=sgn(-7)*(-7)

= - 1 \cdot - 7 = 7

oder |5|=sgn(5)*5

= 1 \cdot 5 = 5

oder

| 0 | =

sgn(0)*0

= 0 \cdot 0 = 0

Nun zu der Fallunterscheidung, um zunächst zu zeigen, dass immer sgn(a*b)=sgn(a)*sgn(b) gilt:

1) a < 0

und

b < 0 \Rightarrow

sgn(a*b)=1, weil

a \cdot b > 0

und sgn(a)*sgn(b)

= - 1 \cdot - 1 = 1 \Rightarrow

sgn(a*b)=sgn(a)*sgn(b)

2) a < 0

und

b > 0 \Rightarrow

sgn(a*b)=-1, weil

a \cdot b < 0

und sgn(a)*sgn(b)

= - 1 \cdot 1 = - 1 \Rightarrow

sgn(a*b)=sgn(a)*sgn(b)

3) a > 0

und

b > 0

=>sgn(a*b)=1, weil

a \cdot b > 0

und sgn(a)*sgn(b)

= 1 \cdot 1 = 1 \Rightarrow

sgn(a*b)=sgn(a)*sgn(b)

4)

Wenigstens einer der Faktoren in

a \cdot b

sei

= 0,

etwa

a = 0 \Rightarrow

sgn(0*b)

= 0,

weil

0 \cdot b = 0

und sgn(a)*sgn(b)

= 0,

weil mit

a = 0

auch sgn(a)=0
Jetzt zu deinem Beweis:
Egal, ob einer der Faktoren

= 0,

oder beide positiv oder beide negativ oder beide unterschiedliche Vorzeichen haben, es gilt immer (wegen oben)

| a \cdot b | =

(a*b)*sgn(a*b)= (a*b)*(sgn

[

a]*sgn[b) )=(a*sgn(a))*(b*sgn(b))

= | a | \cdot | b |

.

Gruß von
oculus

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