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Bild und Matrix bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Abbildungsmatrix, Linear Abbildung, Matrizenrechnung

Dream123 aktiv_icon

02:04 Uhr, 11.12.2016

Hallo,
ich bräuchte dringend Hilfe bei einer Aufgabe. Ich sitze schon die ganze Zeit an dieser Aufgabe, komme aber keinen Schritt voran.
Erstmal im Allgemeinen: wie bestimme ich das Bild? Und wie bestimme ich die Matrix einer linearen Abbildung bezüglich der Basen?
Ich habe leider weder im Internet noch in meinem Skript Antworten auf diese Fragen gefunden.

Die Aufgabe lautet:
Gegeben sind die Vektoren

v = (\begin{matrix} 7 \\ - 3 \end{matrix}) \in ℝ^{2}

und

w = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) \in ℝ^{3}

sowie die lineare Abbildung

φ : ℝ^{2} \to ℝ^{3} : x \mapsto < x | v > w

Geben sie das Bild

φ (v_{0})

an, wobei

v_{0} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})

ist.

Gesucht ist nun die Matrix

c φ b

dieser linearen Abbildung bezüglich der Basen

B : b_{1} := (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), b_{2} := (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

und

C : c_{1} := (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), c_{2} := (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), c_{3} := (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Ich weiß überhaupt nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Domares aktiv_icon

02:15 Uhr, 11.12.2016

Wie ist <x|v> definiert?

Falls Linearform, dann hat

φ

folgende Struktur:

φ (x) = < x ∣ v > w = (x_{1} v_{1} + x_{2} v_{2}) (\begin{array}{rcl} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{array}) = . . . = (\begin{array}{rcl} v_{1} w_{1}, & v_{2} w_{1} \\ v_{1} w_{2}, & v_{2} w_{2} \\ v_{1} w_{3}, & v_{2} w_{3} \end{array}) (\begin{array}{rcl} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) = A x

Dream123 aktiv_icon

13:00 Uhr, 11.12.2016

Also

< v | x >

soll ein Skalarprodukt sein.

Dream123 aktiv_icon

13:09 Uhr, 11.12.2016

Ist es dann so wie du es meinst.

(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = 2 x_{1} + 4 x_{2}

Nachdem Skalarprodukt dann das:

(2 x_{1} + 4 x_{2}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & 8 \\ 0 & 0 \\ 10 & 20 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

Und wie geht es jetzt weiter?

Dream123 aktiv_icon

14:59 Uhr, 11.12.2016

Ahhh jetzt hab ich verstanden was du meintest. Ich hab die Lösung jetzt raus. Aber wie funktioniert der zweite Teil dieser Aufgabe. Wie bestimmt man die Matrix bezüglich der Basen?

Dream123 aktiv_icon

18:41 Uhr, 11.12.2016

hab es jetzt verstanden

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