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Bilden der Ableitungsfunktion

Schüler

Tags: Funktionsvariable

 
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Visocnik

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11:25 Uhr, 27.02.2017

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Aufgabe:
f(a)=za+b

Ich hätte so begonnen:
f'(a)=(a+b)ln(z)

Da mache ich etwas falsch. Bleibe schon zu Beginn der Aufgabe hängen. Warum muss man hier nicht so differenzieren, dass a= herauskommt?

Das Ergebnis sollte lauten: f'(a)=za+bln(z)


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Respon

Respon

11:39 Uhr, 27.02.2017

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Du hast so abgeleitet, als wäre z die Variable und a und b Konstante.
Es ist aber a die Variable und z und b Konstante.
Visocnik

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11:44 Uhr, 27.02.2017

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Vielen lieben Dank für die Antwort.
Muss ich dann so beginnen: f(a)=za+zb
Bitte um den richtigen Ansatz! Danke im Voraus!


Antwort
pivot

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11:45 Uhr, 27.02.2017

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Hallo,

das ist kein Polynom der Art f(a)=bnan+bn-1an-1++b1a1+a0

Sondern es ist eine Exponentialfunktion. Diese kannst du umformen.

f(a)=za+b=eln(za+b)=e(a+b)ln(z)=ealn(z)+bln(z)

Nun sollte dir bekannt sein wie man eine Exponentialfunktion mit der Basis e ableitet.

Gruß

pivot
Antwort
Respon

Respon

11:49 Uhr, 27.02.2017

Antworten
Es ist günstig, folgende Umformung vorzunehmen:
za+b=eln(za+b)=e(a+b)ln(z)
Der letzte Term läßt sich nach a leicht ableiten ( Kettenregel ).
Also:
f(a)=e(a+b)ln(z)
f'(a)=e(a+b)ln(z)ln(z)
f'(a)=za+bln(z)
Visocnik

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12:29 Uhr, 27.02.2017

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Ich bin beim Ableiten - habe allerdings Probleme damit!
Antwort
Respon

Respon

12:31 Uhr, 27.02.2017

Antworten
Und welcher Art sind diese Probleme ?
Antwort
Respon

Respon

12:59 Uhr, 27.02.2017

Antworten
Ich nehme an, dass dir die grundlegenden Ableitungsregeln vertraut sind.
Unsere - umgeformte - Funktionsgleichung sieht nun so aus:
f(a)=e(a+b)ln(z)
Dabei ist a die Variable und z und b Konstante.
Die Funktionsgleichung hat folgende Struktur:
f(a)=eg(a)  mit g(a)=(a+b)ln(z)

f'(a)=eg(a)g'(a)
...
Visocnik

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13:15 Uhr, 27.02.2017

Antworten
Sehe eben, lieber respon, dass du mir die Ableitung oben durchgeführt hast. Vielen vielen Dank. Ich kam einfach nicht zum richtigen Ergebnis. Ich werde mir das jetzt nochmals genau ansehen. Dieses e(a+b)ln(z)ln(z) zurückführen auf f'(a)=za+bln(z) kapiere ich noch nich ganz.
Dieses g'(a) verstehe ich noch nicht ganz. Leider!
Ich habe immer im Kopf, dass die Ableitung von ln(z)=1z ist. Da habe ich einen Denkfehler!
Antwort
pivot

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14:41 Uhr, 27.02.2017

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Was du im Kopf hast ist ja richtig. Nur die leitest eben nicht nach z ab, sondern nach a. Du hast g(a)=aln(z)+bln(z) Der Term bln(z) ist eine Konstante, da die Variable a nicht drin vorkommt. Sie fällt bei der Ableitung weg. Die Ableitung von aln(z) nach a ist dann eben ln(z)

Und e(a+b)ln(z)=(eln(z))(a+b) Siehe dir dazu die Potenzgesetze an.

eln(z) is natürlich z, da ln(z) die Umgkehrfunktion von ez ist. Somit ist

e(a+b)ln(z)=za+b
Antwort
Roman-22

Roman-22

14:49 Uhr, 27.02.2017

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> Ich habe immer im Kopf, dass die Ableitung von ln(z)=1z ist. Da habe ich einen Denkfehler!
Ja, und zwar den, dass du die Ableitungsvariable nicht beachtest.
Das ist eben die Gefahr, wenn man das prime-Symbol (den Ableitungsstrich) verwendet, da daraus nicht hervorgeht, nach welcher Variablen abgleitet werden soll.
In deiner Angabe steht f(a)=... und daraus lässt sich ableiten(sic!), dass nach a abgeleitet werden soll.

Beachte:

ddz[aln(z)]=a1z

aber

ddb[aln(z)]=0

und

dda[aln(z)]=ln(z)

Es kommt eben immer darauf an, nach welcher Variablen abgeleitet werden soll, die anderen Größen ( deiner Aufgabe b und z) sind dann als Konstante zu betrachten.

@pivot:
Ich denke, dass man   ddxax=axlna   als bekannte Ableitung, die man sich merkt und weiß, voraussetzen kann und nicht bei jedem Auftreten neu herleiten muss.
So, wie man quadratische Gleichungen ja auch nicht in alle Ewigkeit durch quadratische Ergänzung löst (es sei denn, man hätte eine starke Affinität zu einem großen Ozean), sondern schneller und sicherer unter Verwendung einer Formel, die man sich einfach merkt und bei Bedarf parat hat.
Visocnik

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15:06 Uhr, 27.02.2017

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Allerliebsten Dank, ihr beiden. Ihr habt mir sehr geholfen. Ich muss mir das natürlich ganz genau durch den Kopf gehen lassen, also Schritt für Schritt. Aber ich glaube, ich verstehe es jetzt. Ich bin im Umgang mit diesen Potenzgesetzen und e-Logarithmen eben noch nicht fit.
Danke, danke für eure Unterstützung - ihr habt mir sehr geholfen. Danke, dass ihr so viel Zeit für mein Anliegen aufgebracht habt.
LG
B
PS: Habe eben noch einen Fehler ausgebessert und konnte daher die Aufgabe noch nicht abschließen Bitte daher um eine kurze Rückmeldung.
Frage beantwortet
Visocnik

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15:10 Uhr, 27.02.2017

Antworten
Nochmals vielen Dank. So jetzt konnte ich doch die Aufgabe abschließen, Gott sei Dank!
LG
B
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Visocnik

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15:10 Uhr, 27.02.2017

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Nochmals vielen Dank. So jetzt konnte ich doch die Aufgabe abschließen, Gott sei Dank!
LG
B
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pivot

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15:11 Uhr, 27.02.2017

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@Roman

Respon und ich wollten an Bekanntem anknüpfen. Um ehrlich zu sein, leite ich eine Exponentialfunktion immer noch so ab. Auswendiglernen ist nicht so mein Ding.
Frage beantwortet
Visocnik

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15:13 Uhr, 27.02.2017

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Alles bestens, mir hat es viel gebracht. Danke!
LG
B