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Bruchungleichung mit Beträgen

Universität / Fachhochschule

Tags: Betrag, Bruchungleichung, Ungleichung

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22:09 Uhr, 18.03.2014

Meine Frage:
Hallo Leute, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

\frac{| x + 4 |}{| 2 x + 1 |} < 1

Ich habe solche Aufgaben nie wirklich gemacht und würde gerne wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin..

Lösungsansatz & Grundlagen:

- Bei Beträgen gilt:

a > 0 \Rightarrow

Betragszeichen entfällt und "a" bleibt so stehen

a < 0 \Rightarrow

Alles was innerhalb

| ... |

steht wird eingeklammert und mit einem 'Minus' davor versehen.

z . B

| x + 4 | \Rightarrow - (x + 4) \Rightarrow - x - 4

- Bei Ungleichungen gilt:

Bei der multiplikation von negativen Zahlen geht ein Wechsel des Ungleichheitszeichen einher.

Z . B

- 2 x > \frac{4}{:} (- 2)

\Rightarrow x < - 2

Meine Ideen:

1)

Mein erster Schritt wäre, dass ich die Zahl für

x

auschließe, bei der der Bruch 'Null' ergeben würde.

bei

2 x + 1 = 0

wäre das

x = - \frac{1}{2}

Sprich:

D = {x e R {- \frac{1}{2}}

2)

Mein zweiter Schritt wäre nun die Fallunterscheidung.

Fall

a)

2 x + 1 \geq 0

(Betragszeichen entfällt da

a > 0)

2 x + 1 \geq 0

\Rightarrow x \geq - \frac{1}{2}

x + 4 \geq 2 x + 1

(Hauptnenner multipliziert)

\Rightarrow x > 3

Zahlenstrahl:

.......

[

-1/2..0..........3[....unendlich

L = {x > 3}

Fall

b)

Überlegung: da

a < 0

muss man ein Minus vor die Beträge setzen

z . B

| 2 x + 1 | \Rightarrow - (2 x + 1) \Rightarrow - 2 x - 1

Nur.. muss ich das jetzt für Zähler und Nenner im Bruch machen, also überall da wo ein Betrag steht?

Und muss ich dann auch eine Fallunterscheidung mit dem Zähler machen oder nur mit dem Nenner? Das verwirrt mich irgendwie...

Wäre für jede Hilfe sehr dankbar!

lg

Aurel

22:42 Uhr, 18.03.2014

alle Fälle unterscheiden:

Z ... ... ...

. Zähler

N ... ... ...

. Nenner

1. Fall:

Z \geq 0, N \geq 0

2.Fall:

Z < 0, N \geq 0

3. Fall:

Z < 0, N < 0

4. Fall:

Z \geq 0 N < 0

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23:07 Uhr, 18.03.2014

\frac{| x + 4 |}{| 2 x + 1 |} < 1

es gäbe auch noch Varianten
zB

für alle

x \neq - \frac{1}{2}

kann die Ungleichung mit der positiven Zahl

| 2 x + 1 |

multipliziert werden (die Richtung bleibt dann gleich)

also:
untersuche

\to

| 2 x + 1 | > | x + 4 |

und die dann sinnvollen drei Fallunterscheidungen liefern problemlos:

x < - \frac{5}{3}

...ODER...

x > 3

als Lösungsintervalle..

b0mMeL aktiv_icon

01:11 Uhr, 19.03.2014

Danke erstmal für die Antworten!

alsoo:

Fall 1:

2 x + 1 \geq 0

(Beträge können entfernt werden)

Fall

1 a)

2 x + 1 \geq 0

x + 4 \geq 0

Fall

1 b)

2 x + 1 \geq 0

x + 4 < 0

= = = = = = = = = = = =

Fall 2:

2 x + 1 < 0

(vor Beträge kommt ein Minus)

Fall

2 a)

2 x + 1 < 0

x + 4 \geq 0

Fall

2 b)

2 x + 1 < 0

x + 4 < 0

= = = = = = = = = = =

Fall

1 a)

x \geq - \frac{1}{2}

x \geq - 4

x > 3

Fall

1 b)

x \geq - \frac{1}{2}

x < - 4

x > - \frac{3}{5}

Fall

2 a)

x < - \frac{1}{2}

x \geq - 4

x < - \frac{3}{5}

Fall

2 b)

x < - \frac{1}{2}

x < - 4

x < 3

L = {x | - \frac{3}{5} < x < 3}

Ist das bisher korrekt?

Aurel

01:25 Uhr, 19.03.2014

meinst du nicht eher

L = {x | x < - \frac{3}{5}

oder

x > 3}

b0mMeL aktiv_icon

14:42 Uhr, 19.03.2014

ja doch natürlich ;-) Hab wohl nicht richtig geschaut.

Aber sonst ist der Lösungsweg richtig oder?

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