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Bruchzahl in 5er-System umwandeln

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie

Bright35 aktiv_icon

19:17 Uhr, 21.04.2024

Hallo zusammen,

ich hätte mal eine Frage und zwar hätte ich folgende Aufgabe:

Wandeln Sie den Bruch

\frac{77}{6}

um ins 5er-System.

Ich weiß zwar, wie man die ganzen Zahlen in ein anderes Zahlensystem umwandelt aber bei dem Bruch hier bin ich etwas überfragt.

Kann mir da bitte jemand helfen, wie man da vorgeht?

Die Lösung wäre wohl

22.40

.

Vielen Dank im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

20:04 Uhr, 21.04.2024

Hallo,

es ist immer wieder erstaunlich, wie sehr die Grundschule in der Lage ist, die Hintergründe zu verbergen.

Man führt schlicht eine schriftliche Division durch.
Es gelten:

7 7_{10} = 30 2_{5}

und

6_{10} = 1 1_{5}

Nun musst du schlicht die schriftliche Division

302 \div 11

durchführen, wobei du (wie damals in der Grundschule das kleine 1x1 der

1 1_{5}

brauchst und subtrahieren können musst (im

1 0_{5}

ersystem).

Das kleine 1x1 der

1 1_{5}

(ab jetzt ohne Index):
11
22
33
44
110
(mehr wird man wohl nicht brauchen)

302 : 11 = 22,402
22
----
.32
.22
----
.102
..44
----
...3
...0
-----
...30
...22
-----
....3

Demnach ist die exakte Lösung wohl

22, 4 {\bar{02}}_{5}

.

Mfg Michael

Roman-22

20:23 Uhr, 21.04.2024

>

Wandeln Sie den Bruch

\frac{77}{6}

um ins 5er-System.
Da könntest du ja als Ergebnis

\frac{302_{5}}{11_{5}}

angeben ;-)

Anstatt die Division im 5er-System durchzuführen, wie von michaL gezeigt, kannst du sie auch im Dezimalsystem ausführen und dann das Ergebnis umwandeln:

\frac{77}{6} = 12,8 \bar{3}

Der Teil vor dem Komma sollte kein Problem sein (fortlaufende Division durch

5) \to 12 = 22_{5}

Was den Teil hinter dem Komma anlangt, so musst du da eben mit 5 multiplizieren anstatt zu dividieren:

0,8 \bar{3} \cdot 5 = 4,1 \bar{6} \Rightarrow

wir haben

4 \cdot 5^{- 1}

in der Zahl,

d . h

. die erste Stelle hinter dem Komma im 5er-System ist die 4
Die 4 schneiden wir nun ab und machen weiter:

0,1 \bar{6} \cdot 5 = 0,8 \bar{3} \Rightarrow d . h

. die zweite Ziffer hinter dem Komma ist Null.

Außerdem waren wir ja schon mal bei

0,8 \bar{3}

. Die Zahl ist also auch im 5er-System periodisch und lautet daher

22, \bar{40}

Du kannst das auch in Bruchform machen.

\frac{77}{6} = 12 + \frac{5}{6}

Es geht jetzt also um die

\frac{5}{6}

\frac{5}{6} \cdot 5 = \frac{25}{6} = 4 + \frac{1}{6} \Rightarrow

Ziffer 4

\frac{1}{6} \cdot 5 = \frac{5}{6} = 0 + \frac{5}{6} \Rightarrow

Ziffer 0

\frac{5}{6} \cdot 5 = \frac{25}{6} = 4 + \frac{1}{6} \Rightarrow

Ziffer

4,

aber genau das hatten wir ja schon

Möglicherweise ist die Grundschul-Division im gewohnten Dezimalsystem doch ein wenig weniger fehleranfällig als jene im ungewohnten 5er-System ;-)
Dort, wo michaL

. 102

stehen hat, sollte eigentlich

. 100

stehen.
Damit kommt man dann auch mit seinem Weg auf das exakte Ergebnis

22, \bar{40}

HAL9000

09:22 Uhr, 22.04.2024

Gelingt eine passende Erweiterung, kann man auch so vorgehen: Im Fall

0 < a < g^{n} - 1

besitzt die Zahl

\frac{a}{g^{n} - 1}

g

-System die Zifferndarstellung

{[0, \bar{a}]}_{g}

, wobei rechts das

a

(sofern nicht bereits

n

-stellig) durch Nullen vorn aufgefüllt wird, bis

n

Stellen im

g

-System erreicht sind.

Hier:

\frac{77}{6} = 12 + \frac{5}{6} = 12 + \frac{20}{5^{2} - 1}

im Dezimalsystem, das ergibt mit

g = 5

und

n = 2

sowie

12 = [22]_{5}

sowie

20 = [40]_{5}

dann sofort eben jenes

\frac{77}{6} = {[22, \bar{40}]}_{6}

pleindespoir aktiv_icon

09:23 Uhr, 22.04.2024

"es ist immer wieder erstaunlich, wie sehr die Grundschule in der Lage ist, die Hintergründe zu verbergen."

Danke für den lustigen Spruch !

Leider wird die schriftliche Division offenbar seit Jahrzehnten nicht mehr gelehrt.Jedenfalls ist mir in den ketzten zwanzig Jahren noch kein einziger Schüler / Azubi / Meisterschüler / Student begegnet, der dieses Verfahren beherrscht hätte.

Üblicherweise poppt das Problem beim Thema "Polynomdivision" auf - da starte ich immer erstmal mit einer Textaufgabe: Sieben Osterhasen versteckem 54321 Eier ...

HAL9000

09:26 Uhr, 22.04.2024

Sorry, hab mich oben verschrieben (und darf ja leider nicht mehr editieren): Gemeint war selbstredend

{[22, \bar{40}]}_{5}

michaL aktiv_icon

21:09 Uhr, 22.04.2024

Hallo,

@pleindespoir:

Also hier in NDS steht die schriftliche Division (allerdings nur mit einstelligen Divisoren) noch im Lehrplan.
(Quelle: grundschule-osterwald.de/wp-content/uploads/2018/04/Kerncurriculum_Mathematik_Grundschule.pdf

Dass diese Kulturtechnik auch nicht annähernd flächendeckend verfügbar ist, ist zwar bedauerlich, aber letztlich nicht verwunderlich.

Ich habe das Problem auch spätestens bei der Polynomdivision oder in Informatik beim Dividieren in Dualsystem.

Man stelle sich mal vor, im Lesen und Schreiben wären die Leistungen ähnlich unterirdisch wie beim Rechnen...

Mfg Michael

pleindespoir aktiv_icon

21:45 Uhr, 22.04.2024

"Man stelle sich mal vor, im Lesen und Schreiben wären die Leistungen ähnlich unterirdisch wie beim Rechnen..."

brauche ich mir nicht vorzustellen ...

Die Lesegeschwindigkeit der mir bekannten Teilnehmer ist meist so gering, dass auf Videos und Hörbücher zurückgegriffen wird.

Infolge des dabei extrem verminderten Datenstromes kann eine brauchbare Lernleistung nicht erreicht werden.

---

Was im Lehrplan steht, ist Makulatur. In einigen Grundschulen zählt das blanke Überleben bzw. verletzungsfrei den Schultag zu überstehen.

Die Grundschule ganz in der Nähe des größten Chemiewerks Europas hatte letztens Schlagzeilen gemacht, weil bis auf wenige Einzelfälle (n<3) die komplette erste Klasse nicht die Versetzung in die Zweite geschafft hat. Ich habe das dann so erklärt: Diese Schüler möchten nicht als Schüler zweiter Klasse betrachtet werden und bleiben daher lieber erstklassig.

Bright35 aktiv_icon

19:17 Uhr, 25.04.2024

Hallo zusammen,

vielen Dank schon mal für die Antworten.

Also das mit dem

/ 5

vor dem Komma (ganze Zahl) und die Zahl hinter dem Komma

\cdot 5

hätte ich soweit verstanden.

Wenn ich nun eine ganze Zahl habe teile ich ja hierbei solange bis Rest 0 herauskommt. Was ist aber das Abbruchkriterium für die Zahl nach dem Komma? Also wenn man immer

\cdot 5

nimmt?

Wie

z . B

. wenn man die Zahl

17,23

ins 5-er System umwandeln soll.

Vielen Dank im Voraus

HAL9000

19:51 Uhr, 25.04.2024

Was für ein Abbruchkriterium? Wenn es in eine Periode läuft, dann ist es eben so:

17 = {[32]}_{5}

0, 23 \cdot 5 = 1, 15

Ziffer 1

0, 15 \cdot 5 = 0, 75

Ziffer 0

0, 75 \cdot 5 = 3, 75

Ziffer 3 Periode

Ergebnis:

17, 23 = {[32, 10 \bar{3}]}_{5}

Roman-22

19:52 Uhr, 25.04.2024

>

Was ist aber das Abbruchkriterium für die Zahl nach dem Komma?
Na, bei rationalen Zahlen wirst du entweder irgendwann bei Null landen oder dich aber in einer Perioden-Schleife wiederfinden, so wie in deinem Beispiel mit der Periode

04

.

Bei

17,23

solltest du

32,10 {\bar{3}}_{5}

erhalten, also 3 periodisch.

Bei anderen Zahlen landest du bei Null, hast also keine Periode.
ZB

7,76 = {12,34}_{5}

Bright35 aktiv_icon

14:01 Uhr, 27.04.2024

Okay, super.

Vielen Dank. Jetzt habe ich es verstanden

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