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Cholesky-Zerlegung

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung, Sonstig

CarlaColumna aktiv_icon

19:44 Uhr, 10.08.2017

Guten Abend,

ich kämpfe gerade mit der Cholesky-Zerlegung. Videos haben mir da leider noch nicht ganz die Augen geöffnet.

Es geht um die Faktorisierung

A = L \cdot L^{T}

Für Spalten

i = 1,2, . ., n

l_{i, i} = \sqrt{a_{i, i} - \sum_{k = 1}^{i - 1} l_{i, k}^{2}}

Hauptdiagonalen.

bzw.

\forall j = i + 1, i + 2, ..., n

l_{j, i} = \frac{1}{l_{i, i}} (a_{j, i} - \sum_{k = 1}^{i - 1} l_{j, k} l_{i, k})

Bevor ich die Diagonalelemente berechnen kann brauche ich die Elemente der unteren Dreiecksmatrix.

Dass die Matrix jetzt symmetrisch und positiv definit ist gehen wir davon aus.

Wie werte ich die Formeln denn jetzt aus? Die sind doch gegenseitig voneinander abhängig? Und irgendwie blicke ich da nicht durch.

Ich meine für die Diagonale haben wir ja nur drei Werte:

l_{1,1}, l_{2,2}

und

l_{3,3}

und unter der Diagonalen

l_{2,1}, l_{3,1}

und

l_{3,2}

aber wie soll man das denn berechnen wenn mir oben das

l_{i, k}

fehlt und unten das

l_{i, i}

?

Ich habe jetzt die Matrix als Beispiel:

A = (\begin{matrix} 4 & - 1 & 1 \\ - 1 & 4.25 & 2.75 \\ 1 & 2.75 & 3.5 \end{matrix})

mit

L = (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ - 0.5 & 2 & 0 \\ 0.5 & 1.5 & 1 \end{matrix})

Wenn sich jemand so gnädig erweisen könnte und mir da auf Anhieb helfen könnte wäre ich prompt ein großer Fan der Person:-P)

lg

Carla

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