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DGL Gleichung

Schüler

Tags: DGL

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17:04 Uhr, 02.04.2013

Hallo ich komme leider bei einer Aufgabe nicht weiter:

Lösen sie für

x > 0

Anfangswertproblem:

y' = \frac{y}{x} - \frac{x^{2}}{y^{2}}

mit

y (1) = 1

Ansatz:

Substitution:

z = \frac{y}{x}

y' = z - \frac{x^{2}}{y^{2}}

Wisst ihr wie ich weiter vorgehen soll leute?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

BeeGee aktiv_icon

17:39 Uhr, 02.04.2013

Vorschlag: Du müsstest die gesamte DGL in

z

ausdrücken:

z = \frac{y}{x} \Rightarrow y = z \cdot x

y' = \frac{d y}{d x} = z + z' \cdot x

Damit sieht die DGL so aus:

z + z' \cdot x = z - \frac{1}{z^{2}} | - z

z' \cdot x = - \frac{1}{z^{2}} | \cdot (- z^{2}); : x

- z^{2} d z = \frac{1}{x} d x

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18:10 Uhr, 02.04.2013

Was hast du genau in deinem 2 Schritt gemacht ?

Das verstehe ich nicht.

BeeGee aktiv_icon

18:39 Uhr, 02.04.2013

Du hast

z = \frac{y}{x}

substituiert. Also ist

y = z (x) \cdot x

. Wenn Du jetzt nach

x

ableitest, musst Du die Produktregel anwenden:

y' = \frac{d y}{d x} = z (x) \cdot 1 + z' (x) \cdot x = z (x) + z' (x) \cdot x

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19:16 Uhr, 02.04.2013

Ah ok .

Noch eine kleine frage warum steht in der dritten Zeile:

z - \frac{1}{z^{2}}

Das verstehe ich nicht so ganz.

Ok das ergebnis wäre doch :

- \frac{1}{3} \cdot z^{3} + C = ln (x) + C

Wie gehe ich weiter vor?

prodomo aktiv_icon

20:49 Uhr, 02.04.2013

z = \frac{y}{x}

ergibt

\frac{1}{z} = \frac{x}{y}

und

\frac{1}{z^{2}} = \frac{x^{2}}{y^{2}}

. Jetzt klar ?

Jetty aktiv_icon

21:14 Uhr, 02.04.2013

Ja danke prodomo .

Meine nächster Schritt sieht so aus:

y =

dritte Wurzel aus

(- 3 \cdot ln (x) + C) \cdot x

für

x = 1

eingesetzt :

ABer ich weiss nicht so ganz wie ich das

C

raus bekomme?

y =

dritte Wurzel aus

C \cdot x

\frac{y}{x} =

dritte wurzel aus

C

Richtig?

BeeGee aktiv_icon

21:20 Uhr, 02.04.2013

Danke prodomo für's Weiterführen :-)...

Das sieht doch ganz gut aus:

y (x) = x \cdot \sqrt[3]{- 3 \cdot ln | x | + C}

Randbedingung:

y (1) = 1 \cdot \sqrt[3]{- 3 \cdot ln (1) + C} = \sqrt[3]{C}

\sqrt[3]{C} = 1

\Rightarrow C = 1

y (x) = x \cdot \sqrt[3]{- 3 \cdot ln | x | + 1}

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21:22 Uhr, 02.04.2013

Nochmal eine frage wieso kommt für

C = 1

raus . Das verstehe ich noch nicht so ganz.

Bin ich jetzt nach dieser Berechnung eigentlich fertig?

BeeGee aktiv_icon

21:29 Uhr, 02.04.2013

Du hast doch die Randbedingung

y (1) = 1

Also setzt Du in die gefundene Funktion

y (x)

für

x

die 1 ein und erhältst (da

ln (1) = 0) :

y (1) = \sqrt[3]{C}

Mit der Randbedingung also:

\sqrt[3]{C} = 1

C = 1^{3} = 1

Damit bist Du eigentlich fertig. Wenn Du ganz ambitioniert bist, könntest Du noch eine Probe machen, ob die Ausgangsbeziehung tatsächlich erfüllt ist :-).

Jetty aktiv_icon

21:42 Uhr, 02.04.2013

Alles klar danke Leute.

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