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DGL lösen - 2. Ordnung - Newton 2

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, harmonische schwingung, newton

roggenfaenger aktiv_icon

20:44 Uhr, 31.10.2014

Hallo,

folgende Aufgabe:

Es geht um das zweite Newtonsche Axiom

\overset{..}{x} m = F

Anfangsbedingungen:

x (0) = 0

und

\dot{x} = 0

das Kraftfeld soll gemäß der Zeit variieren.

F = F_{0} sin (w t)

. Für dieses Kraftfeld

F

soll die Funktion

x (t)

bestimmt werden.

Ich stelle die Gleichung auf:

\overset{..}{x} m = F_{0} sin (w t)

Nun Frage ich mich, was ich hier machen muss.
Ich bin mit DGL sehr unerfahren.. Kann mir jemand einen Denkanstoß verpassen, wie ich mit soetwas umgehe?

Darüber wäre ich sehr dankbar.

Viele Grüße

rf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

21:25 Uhr, 31.10.2014

Hallo,

Du musst zweimal integrieren:

m \cdot \frac{d^{2} x}{{d t}^{2}} = m \cdot \frac{d}{d t} (\frac{d x}{d t}) = F_{0} \cdot sin (ω \cdot t) \Rightarrow

m \cdot d (\frac{d x}{d t}) = F_{0} \cdot sin (ω \cdot t) \cdot d t \Rightarrow

m \cdot \int d (\frac{d x}{d t}) = F_{0} \cdot \int sin (ω \cdot t) \cdot d t

Nach dieser ersten Integration kann man dann die Anfangsbedingung

\frac{d}{d t} x (0) = 0

benutzen, um den Wert der Integrationskonstanten zu bestimmen. Danach wiederholt sich der ganze Prozess nochmal, um

x (t)

zu bestimmen.

Viele Grüße
Yokozuna

ledum aktiv_icon

21:53 Uhr, 31.10.2014

Hallo
eigentlich solltest du die Lösung direkt sehen wenn du weisst, dass

(sin (x))'' = - sin (x)

ist. Dieses ist eigentlich keine übliche Dgl, weil einfach nur die zweite Ableitung einer Funktion gegeben ist , und du die Funktion suchst.
Gruß ledum

roggenfaenger aktiv_icon

11:36 Uhr, 01.11.2014

nach der Ersten Integration erhalte ich

m \cdot \dot{x} \cdot t = F_{0} (- cos (ω \cdot t) ω^{- 1}) + c

Nun setze ich

\dot{x} = 0

c

zu bestimmen.
Damit die rechte Seite "0" ergibt muss gelten

c = \frac{F_{0}}{ω}

stimmt das so?
Oder muss ich erst das

m

und

t

auf die rechte Seite bringen?

Würde ich nun, nach Bestimmung von

c

die zweite Integration durchführen?

Yokozuna aktiv_icon

12:55 Uhr, 01.11.2014

Auf der linken Seite hast Du einen Faktor

t

zu viel. Dort steht nur

m \cdot \frac{d x}{d t}

.
Die rechte Seite ist ok, auch die Bestimmung der Integrationskonstante.

Jetzt musst Du noch einmal integrieren:

m \cdot \frac{d x}{d t} = \frac{F_{0}}{ω} \cdot (- cos (ω \cdot t) + 1)

Viele Grüße
Yokozuna

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