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DGL richtig?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partielle Differentialgleichungen

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16:00 Uhr, 23.10.2016

Guten Sonntag an alle,

Habe eben folgende DGL gelöst und wollte wissen ob diese richtig ist.

y * c o s (x) + y - (s i n (x) + x) y ʹ = 0

M = y * c o s (x) + y

N = - (s i n (x) + x)

Exaktheit prüfen:

M_{y} = c o s (x) + 1

N_{x} = - c o s (x) - 1

=>Fast Exakt.

Suche nach einem Integrierenden Faktor:

\frac{μ (x) ʹ}{μ (x)} = \frac{M_{y} - N_{x}}{N}

\frac{μ (x) ʹ}{μ (x)} = \frac{2 c o s (x) + 2}{- s i n (x) - x}

l n ∣ μ (x) ∣ = - 2 * \int \frac{c o s (x) + 1}{- s i n (x) - x} * - 1 d x

l n ∣ μ (x) ∣ = - 2 * \int \frac{- c o s (x) - 1}{- s i n (x) - x} * d x

Im Zähler steht Ableitung vom Nenner.

l n ∣ μ (x) ∣ = - 2 * l n ∣ - s i n (x) - x) ∣ + c

Mit e multiplizieren

μ (x) = \frac{1}{(- s i n (x) - x)^{2}} * c

Die ganze DGL mit dem Faktor multiplizieren:

\frac{y c o s (x) + y}{(- s i n (x) - x)^{2}} + \frac{1}{- s i n (x) - x} y ʹ = 0

M = \frac{y c o s (x) + y}{(- s i n (x) - x)^{2}} = ψ_{x}

N = \frac{1}{- s i n (x) - x} = ψ_{y}

M_{y} = \frac{c o s (x) + 1}{(- s i n (x) - x)^{2}}

N_{x} = \frac{c o s (x) + 1}{(- s i n (x) - x)^{2}}

=> EXAKT!

ψ (x, y) = \int ψ_{x} (x, y) d x + c (y)

ψ (x, y) = \int \frac{y c o s (x) + y}{(- s i n (x) - x)^{2}} d x + c (y)

= \frac{y}{- 1} * \int \frac{- c o s (x) - 1}{(- s i n (x) - x)^{2}} d x + c (y)

substituieren:

u = - s i n (x) - x

d u / d x = - c o s (x) - 1

d x = d u / (- c o s (x) - 1)

= \frac{y}{- 1} * \int \frac{1}{u^{2}} d u + c (y)

ψ (x, y) = y * \frac{1}{u} + c (y)

ψ (x, y) = y * \frac{1}{- s i n (x) - x} + c (y)

N = \frac{1}{- s i n (x) - x}

ψ_{y} (x, y) = \frac{1}{- s i n (x) - x} + c ʹ (y)

N = ψ_{y} (x, y)

c ʹ (y) = 0

c (y) = c

ψ (x, y) = y * \frac{1}{- s i n (x) - x} + c

y = c * (- s i n (x) - x)

PROBE:

y ʹ = c * (- c o s (x) - 1)

Einsetzen:

c * (- s i n (x) - x) * c o s (x) + c * (- s i n (x) - x) - (s i n (x) + x) * c * (- c o s (x) - 1) = 0

alles durch

- s i n (x) - x

c * c o s (x) + c + c * (- c o s (x) - 1) = 0

c * (c o s (x) + 1 - c o s (x) - 1) = 0

durch c teilen
cos(x)+1 -cos(x) -1 = 0
=>probe erfolgreich<=

Müsste also alles richtig sein?

Danke

Loewe1

17:41 Uhr, 23.10.2016

Hallo,
Diese DGL ist NICHT exakt , das stimmt , auch der Nachweis.

Ich habe für den integrierenden Faktor

M = \frac{1}{{(x + sin (x))}^{2}}

berechnet und komme auf die Lösung:

y = K \cdot (x + sin (x))

und die Probe stimmt.

PS: Diese DGL kann man auch mit Trennung der Variablen lösen.

Das habe ich auch zur Kontrolle getan und komme auch auf

y = K \cdot (x + sin (x))

derneuebig aktiv_icon

21:29 Uhr, 23.10.2016

hallo,

Hm dann scheinen unsere beiden Lösungen zu stimmen? Der Unterschied ist ja das Vorzeichen. Aber wenn meine Probe und deine Probe stimmen, dann müssten ja beide Lösungen doch richtig sein?

ledum aktiv_icon

22:29 Uhr, 23.10.2016

ersetze

C = - k

und du hast dieselbe Lösung, da

c

bzw

k

jeden Wert annehmen kann.
Gruß ledum

derneuebig aktiv_icon

22:33 Uhr, 23.10.2016

Achso ja klar, das geht ja auch..
Aber, muss ich das denn machen? Also was ich wissen will ist, ob meine Lösung, Mathematisch gesehen, auch korrekt ist? Ohne das Vorzeichen in die Konstante zu ziehen.

ledum aktiv_icon

13:03 Uhr, 24.10.2016

Warum fragst du, das hatte ich doch gesagt.
allerdings bist du während deiner Rechnung ungeschickt vorgegangen , üblicherweise detzt man

{(- 1)}^{2} = 1

also (-x-sinx)^2=(x+sinx)^2
aber das macht dein Ergebnis nicht falsch.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

13:16 Uhr, 24.10.2016

Warum fragst du, das hatte ich doch gesagt.
allerdings bist du während deiner Rechnung ungeschickt vorgegangen , üblicherweise detzt man

{(- 1)}^{2} = 1

also (-x-sinx)^2=(x+sinx)^2
aber das macht dein Ergebnis nicht falsch.
Gruß ledum

derneuebig aktiv_icon

22:37 Uhr, 24.10.2016

Hallo,

Ja, hast recht. Habe die eben mittels TdV berechnet, ging ja sowas von schnell!

Super, vielen dank.
lG

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