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Darstellende Matrix lineare Abbilding

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Linear Abbildung, Matrizenrechnung, polynom

anonymous

22:03 Uhr, 22.04.2024

Hey, ich steig grad leider garnicht mehr durch.

Ich hab versucht die Bilder der Basisvektoren zu berechnen, aber irgendwie macht nichts mehr sinn.

Für

n \in N

bezeichne

V_{n} \subseteq R [x]

den Unterraum der Polynome vom Grad

\leq n

.
Betrachte die lineare Abbildung

D_{n} : V_{n} \to V_{n}

f

→

(x^{2}

−

1) f'' +

2xf'

Bestimmen Sie die darstellende Matrix von

D_{n}

bezüglich der Basis

X = (1, x, x^{2}, . .

, x^{n})

Hier mein ansatz:
Für

(1) : D_{n} (1) = 0

Für

(x) : D_{n} (x) = 2 x

Für

(x^{2}) : D_{n} (x^{2}) = 2 x^{4} + 4 x^{3} - 2

Für

(x^{n}) : D_{n} (x^{2}) = (n^{2} - n) x^{3 n - 2} - (n^{2} - n) x^{n - 2} + 2 n x^{2 n - 1}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

michaL aktiv_icon

10:24 Uhr, 23.04.2024

Hallo,

allgemein kann man wohl

x^{k} \mapsto (x^{2} - 1) \cdot (k - 1) \cdot k x^{k - 2} + 2 x \cdot k x^{k - 1} = k (k - 1) x^{k} + 2 k x^{k} - k (k - 1) x^{k - 2}

= x^{k} \cdot k (k + 1) - x^{k - 2} \cdot k (k - 1)

finden. (Ich rechne aber nicht auf Papier und mir unterlaufen zunehmend beim Kopfrechnen Fehler. Also mit Vorsicht genießen!)

Daraus ergeben sich doch die Bilder der Basiselemente.
Um daraus eine Matrix zu machen, muss du die Basis koordinatisieren, d.h. (in diesem Fall) aus

1

den Vektor

(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array})

, aus

x

den Vektor

(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array})

isw. machen.
Dann Bilder und Basiselemente in den Koordiantenvektoren schreiben, dann läuft alles so, wie du es von den anderen Aufgaben her kennst.

Mfg Michael

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