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Das C bei der Mandelbrot-Menge

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: c, Fraktal, Mandelbrot-Menge

b00n07 aktiv_icon

16:02 Uhr, 08.02.2010

Hi,
ich beschäftige mich gerade aus Interesse mit der Mandelbrot-Menge der Form

Z_{n} = Z_{n - 1} + C

.
Da ist mir soweit auch alles klar eigentlich, ich bin mir nur nicht sicher ob ich das alles richtig verstanden habe

Klar ist das alle Zahlen, der Form

Z = (a; b)

die, wenn man sie in die Folge einsetzt, gleich bleiben oder gegen Null gehen in der Mandelbrot-Menge liegen und sollte man dies per Rechner machen schwarz gezeichnet werden in der Komplexen Ebende.

Nun gibt es da, aber auch immer diese Randwerte die andersfarbig gemalt werden, ich bin mir nun nicht sicher ob ich da noch richtig liege, die Farbe ist abhängig davon wie oft die Rekursion durchlaufen wurde um die eingezeichnete Zahl zu errechnen ? (gehe von einer Software aus die, die Mandelbrot-Menge zeichnet

[z . B

. XAOS

]

)

Und meine weitere eigentlich wichtigste Frage:
Das

C

kann beliebig gewählt werden muss dann aber für eine Mandelbrot-Menge gleich sein ?
Und was ist

C

bei der einfachen Mandelbrot-Menge (also der Form

Z_{n} = Z_{n + 1} + C

?
Meine Vermutung ist ja das

C

dann immer gleich

Z [0],

oder täusche ich mich da ?

Würde mich über ein paar Antworten oder Bestätigungen meiner Vermutungen/Überlegungen freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

17:06 Uhr, 08.02.2010

Die komplexe Zahl

c

gibt die Koordinaten an des Punktes, über dessen Farbe du gerade entscheiden willst, ist also für jeden Bildschirmpunkt anders.
Um die Zugehörigkeit zu

M

oder sonstige Färbung dann für ein

C

zu entscheiden, muss man beurteilen, wie die durch

z_{0} = c, z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c

rekursiv definierte Folge sich verhält: Wächst sie über alle Grenzen (wie man zeigen kann, ist dies bereits dann der Fall, wenn auch nur ein

z_{n}

Betrag

> 2

hat) oder nicht (das ist allgemein schwieriger zu beurteilen; man belässt es der Einfachheit halber bei der Prüfung, ob auch nach beispielsweise

10000

Iterationen noch kein Entkommen vorliegt).
Das Äußere von

M

färbt man üblicherweise mit einer Farbe, die davon abhängt, wie rasch der Punkt als äußerer zu erkennen war (bei welchem Schritt

n

also

| z_{n} | > 2

eingetreten ist).

Man kann auch anders vorgehen und für das gesamte Bild

c \in ℂ

fest wählen und dann stattdessen

z_{0}

zu variieren (wiederum im Bereich

| z_{0} | < 2)

. Wiederum färbt man den

z_{0}

entsprechenden Punkt nach dem Verhalten der Folge (beschränkt oder nicht).
Dieses Bild ergibt dann die Julia-Menge

J_{c}

zu dem gegebenen

c

.
Wenn

c \in M

gewählt wurde, ist

J_{c}

ein zusammenhängendes (aber wild verknospetes) Gebilde; wenn

c \notin M,

ist

J_{c}

eher so eine Art Staubwolke. Übrigens ist das auch die ursprüngliche Definition von

M :

als Menge aller

c,

für die

J_{c}

zusammenhängend ist.

b00n07 aktiv_icon

17:20 Uhr, 08.02.2010

Danke für die Antwort.
Dem ersten Absatz nach zu urteilen lag ich also mit allen meinen Ahnahmen richtig, also das

C = Z_{0}

ist.
Aber nocheinmal zu dem

| Z_{n} | > 2;

ist es nicht so, dass wenn

| Z_{n + 1} | > | Z_{n} |

ist,

| Z_{n} |

auf jeden Fall früher oder später größer als 2 sein wird ? Daher wäre es an dieser Stelle eigentlich nicht mehr nötig zu überprüfen nach wie vielen Durchläufen der Rekursion

| Z_{n} | > 2

ist, da

| Z_{n} |

gegen unendlich läuft wenn man die Rekursion immer weiter ausführt

. .

. ?

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