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Definition oder Ableitung für M × {()}

Universität / Fachhochschule

Tags: Kartesisches Produkt, leeres Tupel

grook aktiv_icon

04:02 Uhr, 20.09.2017

Hallo,
ich suche eine Definition oder Ableitung für M × {()}.

(1) Bekannt ist mir die Definition von {()}:
Sei k ≥ 2 und sei M eine Menge. Die k-te Potenz von M ist die Menge

M^{k} := (m_{1}, . . ., m_{k}) : m_{1} \in M, . . ., m_{k} \in M .

Für k = 0 ist M⁰ = {()}. Also besteht M⁰ nur aus dem leeren Tupel.

Für k = 1 ist M¹ = M.
http//www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/lehre/dismod/ws1415/Mathematische%20Grundlagen%20Folien.pdf
(S.36 / 58)

(2) Außerdem ist mir die Ableitung von M × {1} bekannt:
Sei M = {a, b}.
Dann gilt:

M × {1} = {(a, 1),(b, 1)}.

M¹ = {a, b}

∅⁰ = {()}, denn M⁰ = {()} für jede Menge M.
http//www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/lehre/dismod/ws1415/Mathematische%20Grundlagen%20Folien.pdf
(S.37 / 58)

Hier hätte M × {()} = ... gut hineingepasst.

(3) In der Theorie der formalen Sprachen und Automaten gibt es eine zu M × {()} äquivalente Definition. Zunächst einmal wird () mit ε (epsilon) bezeichnet:

Das leere Tupel () ∈ A⁰ heißt auch leeres Wort und wird oft mit ε (epsilon) bezeichnet.
http//www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/lehre/dismod/ws1415/Mathematische%20Grundlagen%20Folien.pdf
(S.43 / 58)

(4) Hier wird noch einmal ausdrücklich definiert A⁰ = {()} = {ε}:

Beachte: Wegen 0 ∈ ℕ und A⁰ = {()} = {ε} enthält A* insbesondere das leere Wort.
http//www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/lehre/dismod/ws1415/Mathematische%20Grundlagen%20Folien.pdf
(S.44 / 58)

(5) Hier wird nun definiert:

L * {ε} = {ε} * L = L
http//theo.cs.ovgu.de/lehre04s/ti_iif/folien/folien0.pdf
(S.15)

(6) Weil {ε} = {()} und L * {ε} = L könnte man nun sagen: M × {()} = M. Nun wundert mich aber, warum ich trotz einigem Aufwand bisher noch keine einzige Quelle gefunden habe, die beim Thema Kartesische Potenz

M × {()}
definiert oder ableitet. Statt dessen habe ich abweichende Definitionen für M¹ gefunden:

M¹ = {(a),(b)}
http//www.tks.informatik.uni-frankfurt.de/lehre/WS0809/DM/downloads/MOD-Skript.pdf
(S.28)
(In diese Seite hätte M × {()} = ... auch gut hineingepasst.)

In (2) heißt es dagegen

M¹ = {a, b}

(7) Im CIS München wird M¹ = {a, b} und M¹ = {(a),(b)} einfach wahlweise verwendet:
Weiter betrachten wir die Elemente einer Menge A als Eintupel, die wir wahlweise in der Form a oder <a> schreiben.
...

Stets gilt A⁰={<>} und A¹={<a>|a∈A}={a|a∈A}=A.
http://www.cis.uni-muenchen.de/~leiss/mathGrundlagen-01-02/kapitel-3.pdf
(S.59 + 60) (In diesem Link mag OnlineMathe offenbar die Tilde ~ nicht. Wie kann ich diesen Link angeben?)

(8) Weil es in MatheOnline zumindest einmal die vorwurfsvolle Antwort gab: "Deine Frage hättest du doch auch einfach googeln können" und dann eine Wikipedia-Quelle angegeben wurde
http//www.onlinemathe.de/forum/Kreuzprodukt-mit-leere-Menge
habe ich auch mal bei Wikipedia nachgeschaut und gefunden:

\prod_{i = 1}^{0} A_{i} = {()} = {\emptyset}

.
de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt#Leeres_Produkt

{()} = {\emptyset} ?

So steht es da, was doch wohl

() = \emptyset

heißt. Das würde ich allerdings mal anzweifeln, weil ein Tupel und damit auch ein leeres Tupel keine Menge ist.

Was wäre denn

M \times {\emptyset}

? Für

M \times {\emptyset}

würde doch bei

M = {a, b}

analog zu

M \times {1} = {(a, 1), (b, 1)}

sicherlich

M \times {\emptyset} = {(a, \emptyset), (b, \emptyset)}

gelten.

Ich suche also ein Quelle, die mal ganz konkret M × {()} definiert, Uni- oder FH-Vorlesungsscript wäre schön. Schön wäre auch, wenn in dieser Quelle mal etwas mehr zu
M¹ = {a, b} und M¹ = {(a),(b)} und vielleicht auch etwas zu

M \times {\emptyset}

steht. Die Wikipedia-Aussage

{()} = {\emptyset}

ist doch wohl falsch, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

HilbertRaum aktiv_icon

14:47 Uhr, 20.09.2017

Wenn du akzeptierst, dass man ein leeres Tupel als eine leere Menge auffasst:

() = \emptyset

, dann

M^{0} = {()} = {\emptyset} = \emptyset

M \times M^{0} = M \times \emptyset = \emptyset

grook aktiv_icon

22:24 Uhr, 20.09.2017

M^{0} = {()} = {\emptyset} = \emptyset ? ?

Zumindest die dritte Gleichung

{\emptyset} = \emptyset

ist nach einer anderen Antwort in OnlineMathe eindeutig falsch. Shipwater hat eine Frage nach einer Eigenschaft der leeren Menge (im Zusammenhang mit einer Frage nach der Russelschen Antinomie) im Thread www.onlinemathe.de/forum/Ist-die-leere-Menge-in-jeder-Menge-enthalten (18:21 Uhr, 06.04.2012) so beantwortet:
"Die leere Menge hat überhaupt gar kein Element, also ist insbesondere auch die leere Menge kein Element der leeren Menge. Eine Menge, die nur die leere Menge als Element hat wäre {∅} also was anderes als nur ∅.
Stellt man sich die Mengen als Beutel vor und ihre (Zahlen)elemente als Kugeln dann wäre die leere Menge eben ein leerer Beutel und die Menge {∅} wäre ein Beutel, in dem sich ein weiterer (leerer) Beutel befindet."

Das heißt eindeutig

{\emptyset} \neq \emptyset

, weil wegen

∣ {\emptyset} ∣ = 1

und

∣ \emptyset ∣ = 0

∣ {\emptyset} ∣ \neq ∣ \emptyset ∣

ist.

Das sollte doch auf jeden Fall klar sein. Ich akzeptiere allerdings auch nicht den ersten Teil der Antwort: "Wenn du akzeptierst, dass man ein leeres Tupel als eine leere Menge auffasst" ... Ob ich eine mathematische Behauptung (unbekannten Ursprungs) akzeptiere, kann doch kein Kriterium sein. Die Frage ist: Ist das von irgend jemandem so definiert worden oder hat das irgend jemand aus einer Definition so abgeleitet?

HilbertRaum aktiv_icon

08:00 Uhr, 21.09.2017

Sehr gut, dass du das nicht widerspruchslos hinnimmst.
Ich habe jetzt nicht viel Zeit, daher kurz eine Idee:
Falls {

\emptyset

\emptyset

muss gelten:
(1)

\emptyset = {x : x \neq x} \subseteq

{

\emptyset

}
(2) {

\emptyset

}

\subseteq \emptyset

(1) ist klar, da die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist (ausserdem ist es direkt ablesbar).
Bleibt (2)

ermanus aktiv_icon

08:37 Uhr, 21.09.2017

Hallo,

sei

I

eine Menge (die Indexmenge), dann versteht man unter

\prod_{i \in I} M

die Menge aller Abbildungen

M^{I} = {f : I \to M}

. Für

I = {1, . . ., n}

schreibt man
anstelle von

M^{I}

normalerweise

M^{n}

. Das leere Produkt ist demgemäß

M^{\emptyset}

, also
die Menge aller Abbildungen

f : \emptyset \to M

.
Da Abbildungen 2-stellige Relationen sind, gilt für solche Abbildungen also

f \subseteq \emptyset \times M = \emptyset

, also

f = \emptyset

und damit gilt

M^{\emptyset} = {\emptyset}

.

Gruß ermanus

grook aktiv_icon

05:04 Uhr, 23.09.2017

Nachdem in diesem Mathematikforum mit einem zweiten Anlauf versucht wird,

{\emptyset} = \emptyset

zu beweisen, habe ich mir noch einmal die Vorlesungsskripte angeschaut, die ich kenne. Ich dokumentiere erst einmal drei verschiedene Vorlesungsskripte, die ausdrücklich sagen, dass

{\emptyset} \neq \emptyset

ist.

1. Goethe-Universität Frankfurt / Main, Wintersemester 2014/2015, S. 18/ 58
(a) Es ist

{\emptyset} \neq \emptyset

, denn

► die leere Menge

\emptyset

hat keine Elemente,

► die Menge

{\emptyset}

hat aber genau ein Element, nämlich die leere Menge

\emptyset

.
http//www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/lehre/dismod/ws1415/Mathematische%20Grundlagen%20Folien.pdf

2. Goethe-Universität Frankfurt / Main, Wintersemester 2008/2009, S. 22
Beachte:

{\emptyset} \neq \emptyset

, denn

\emptyset

ist die Menge, die keine Elemente enthält, während

{\emptyset}

eine Menge ist, die ein Element (nämlich

\emptyset

) enthält.
http//www.tks.informatik.uni-frankfurt.de/lehre/WS0809/DM/downloads/MOD-Skript.pdf

3. Ludwig-Maximilian-Universität München, Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung, Wintersemester 2001/2002, S. 26, wird im Anhang als Grafik gezeigt, weil in diesem Aussschnitt auch eine schöne grafische Darstellung der Mengen

\emptyset

und

{\emptyset}

als Schachteldarstellung enthalten ist, die der Beuteldarstellung von Shipwater im Thread www.onlinemathe.de/forum/Ist-die-leere-Menge-in-jeder-Menge-enthalten vom 06.04.2012 um 18:21 Uhr entspricht. Diese Grafik enthält aber auch eine ausdrückliche Erklärung des Unterschiedes zwischen der Menge

\emptyset

und der Menge

{\emptyset}

.
http://www.cis.uni-muenchen.de/~leiss/mathGrundlagen-01-02/kapitel-2.pdf
(In diesem Link mag OnlineMathe offenbar die Tilde ~ nicht. Wie kann ich diesen Link angeben?)

Nun kann es ja durchaus sein, dass den Studenten in Mathematikvorlesungen von Universitäten auch Unsinn erzählt wird. Diese drei Vorlesungsskripte sollen also keinesfalls ein Autoritätsbeweis darstellen. Sie sollen aber zeigen, dass sich Forumsteilnehmer, die von

{\emptyset} = \emptyset

überzeugt sind, konsequenterweise an die genannten Universitäten wenden sollen, um diese Universitäten von ihren falschen Ansichten zu überzeugen.

Nun würde ich aber vorschlagen, vor solchen Überzeugungsversuchen erst einmal festzustellen, ob die Definition der Gleichheit von Mengen aus dem Vorlesungsskript des Centrums für Informations- und Sprachverarbeitung der Ludwig-Maximilian-Universität München aus dem Wintersemester 2001/2002, S. 27, anerkannt wird oder nicht. Diese Definition lautet:

Definition 2.2 (Extensionalitätsprinzip für Mengen)

Zwei Mengen M und N sind gleich genau dann, wenn sie dieselben Elemente enthalten:

M = N : \overset{}{\Leftrightarrow} \forall x (x \in M \overset{}{\Leftrightarrow} x \in N)

.

Weiterhin würde ich vorschlagen, festzustellen, welche Elemente in den Mengen

\emptyset

und

{\emptyset}

enthalten sind. Meiner Meinung nach, wobei meine Meinung aus dem Studium der oben genannten Vorlesungsskripte entstanden ist, ist in der Menge

\emptyset

überhaupt kein Element enthalten, so dass

∣ \emptyset ∣ = 0

gilt, wie ich schon in meinem letzten Posting geschrieben habe. In der Menge

{\emptyset}

ist dagegen genau ein Element enthalten, nämlich die leere Menge

\emptyset

, so dass

∣ {\emptyset} ∣ = 1

gilt, wie ich ebenfalls schon in meinem letzten Posting geschrieben habe.

Nun hat HilbertRaum im ersten Teil seiner Beweisidee

\emptyset = {x : x \neq x} \subseteq {\emptyset}

geschrieben: "(1) ist klar, da die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist" und hinzugefügt: "(ausserdem ist es direkt ablesbar)". Dazu kann ich nur sagen: Ja, genau, ich finde eigentlich, dass es aus den Mengen

\emptyset

und

{\emptyset}

direkt ablesbar ist, dass sie nicht gleich sind, weil nämlich in der leeren Menge überhaupt kein Element enthalten ist (so dass

∣ \emptyset ∣ = 0

gilt) und weil in der Menge

{\emptyset}

dagegen genau ein Element enthalten ist, nämlich die leere Menge

\emptyset

(so dass

∣ {\emptyset} ∣ = 1

gilt).
Im zweiten Teil seiner Beweisidee

{\emptyset} \subseteq \emptyset

schreibt HilbertRaum: "Bleibt (2)". Dazu kann ich nur sagen: Ja, das ist wirklich ein Problem. Wie beweist man, dass eine Menge M mit

∣ M ∣ > 0

eine Teilmenge der leeren Menge ist? Meiner Meinung nach ist klar, dass jede Menge

M

mit

∣ M ∣ > 0

keine Teilmenge der leeren Menge ist, weil in der leeren Menge nicht die Elemente der Menge

M

enthalten sind, womit diese beiden Mengen nach Definition 2.2 nicht gleich sind.

Satz: Zwei Mengen

M

und

N

mit

∣ M ∣ \neq ∣ N ∣

sind nicht gleich:

∣ M ∣ \neq ∣ N ∣ \Rightarrow M \neq N

Beweis:
(1)

∣ M ∣ > ∣ N ∣ \Rightarrow \exists x : x \in M, x \notin N \Rightarrow M \neq N

, weil nach Definition 2.2

\forall x (x \in M \overset{}{\Leftrightarrow} x \in N)

gelten muss.
(2)

∣ M ∣ < ∣ N ∣ \Rightarrow \exists x : x \in N, x \notin M \Rightarrow M \neq N

, weil nach Definition 2.2

\forall x (x \in M \overset{}{\Leftrightarrow} x \in N)

gelten muss.

Aus diesem Satz folgt

{\emptyset} \neq \emptyset

, weil für M=

\emptyset

und N=

{\emptyset}

wegen

∣ \emptyset ∣ \neq ∣ {\emptyset} ∣

und

∣ M ∣ \neq ∣ N ∣ \Rightarrow M \neq N

∣ \emptyset ∣ \neq ∣ {\emptyset} ∣ \Rightarrow \emptyset \neq {\emptyset}

gilt.

Ist das nicht ein Beweis? (Ich bin kein Mathematiker, nur Informatiker.) Kann mir vielleicht einer sagen, wo ich richtig anerkannte Beweise für

∣ M ∣ \neq ∣ N ∣ \Rightarrow M \neq N

und

∣ \emptyset ∣ \neq ∣ {\emptyset} ∣ \Rightarrow \emptyset \neq {\emptyset}

finden kann?

ermanus aktiv_icon

11:42 Uhr, 23.09.2017

Hallo grook,

du hast natürlich vollkommen Recht: "

{\emptyset} = \emptyset

" ist Quatsch.
Übrigens heißt das leere Produkt nicht leer, weil es die leere Menge wäre, sondern
weil die Indexmenge leer ist. Das leere Produkt besitzt ein Element.

Gruß ermanus

HilbertRaum aktiv_icon

11:45 Uhr, 23.09.2017

grook, ich war zu eilig.
Wenn man es formal betrachtet, is

{} \neq {{}}

korrekt (

\emptyset := {}

).
Denn es müsste ja gelten

{{}} \subseteq {}

Das kann nur sein, wenn

\forall a \in {{}} \Rightarrow a \in {}

, also

{} \in {}

Das kann aber nicht gelten, da

{}

kein Element enthält (Erinnerung: {}:={ Lebewesen auf der Venus }).
Es gilt aber sehr wohl (wir unterscheiden streng zwischen "ist Element" und "ist Teilmenge")

{} \subseteq {}

Etwas philosophisch. Leibnitz hat schon bemerkt: Warum gibt es etwas, aber nicht nichts?

grook aktiv_icon

17:42 Uhr, 23.09.2017

Und was soll das nun heißen:
"Wenn man es formal betrachtet, ist

{} \neq {{}}

korrekt"?

Gibt es vielleicht noch eine andere Betrachtungsweise, nach der

{} = {{}}

korrekt ist? Welche Betrachtungsweise soll das sein?

Ich bin wie gesagt kein Mathematiker, sondern Informatiker, würde aber gerne die Höhen des mathematischen Denkens besser verstehen.

Man kann natürlich auf die Idee kommen, das nur die Elemente zählen, die in einer Menge enthalten sind: Wenn eine Menge A, die keine Elemente enthält und deshalb die leere Menge ist, Element einer Menge B ist, die außer der Menge A auch keine Elemente enthält, dann enthält auch die Menge B keine Elemente und ist deshalb die leere Menge, so dass A=B ist. Meiner Meinung nach gibt es aber nur eine mathematische Betrachtungsweise und nach dieser Betrachtungsweise ist diese Überlegung falsch, weil die Menge A ein Element der Menge B ist, so dass die Menge B im Unterschied zur Menge A ein Element enthält und deshalb nicht die leere Menge ist.

Also, was soll das heißen: "Wenn man es formal betrachtet ..."? Mir würde auch der Verweis auf eine Quelle reichen, die sich mit verschiedenen Betrachtungsweisen befasst. Muss nicht alles im Forum stehen.

HilbertRaum aktiv_icon

19:46 Uhr, 23.09.2017

Formal heisst: aus mathematischer Sicht ist die Ungleichheit (zweifelsfrei) korrekt, d. h. Innerhalb der mengentheorie ist die Aussage wahr. Punkt.
Man könnte jetzt anfangen, philosophische Betrachtungen anzustellen, aber das ändert nichts an dem wahrheitswert der Aussage innerhalb des Math. Kalküls.
Kurz: die Aussage

{} \neq {{}}

ist eine wahre Aussage innerhalb der Theorie der Mengen!

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