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Determinante eines Endomorphismus

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Determinanten

Tags: Determinant, Endomorphismus

Briggehossler aktiv_icon

21:56 Uhr, 23.04.2017

Hallo zusammen,

ich hänge gerade an einer Aufgabe zur Berechnung einer Determinante eines Endomorphismus. Leider habe ich keine Idee dazu, tue mir mit Polynomen immer bisschen schwer.. Könnte mir jemand helfen?

LG Briggehossler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

22:23 Uhr, 23.04.2017

Hallo
die Abbildungsmatrix hat als Spalten die Komponenten der Bilder der Standardbasis, die du wählst
kannst du die exakte Aufgabe schicken, nicht nur

b)

Gruß ledum

Briggehossler aktiv_icon

22:30 Uhr, 23.04.2017

Hallo,

und was ist bei Polynomen die Standardbasis?
Habe auch die

a)

hochgeladen.

LG Briggehossler

ledum aktiv_icon

22:57 Uhr, 23.04.2017

Hallo
oft verwendet

1, x, x^{2}, ... x^{n}

aber dass du die verwendest musst du angeben, weil es ja auch andere gibt.
Gruß ledum

Briggehossler aktiv_icon

08:23 Uhr, 24.04.2017

Hallo

muss ich dann die Standardbasis in fn

(g (X))

einsetzen?

LG Briggehossler

ledum aktiv_icon

12:15 Uhr, 24.04.2017

Hallo
ja du musst die Basisvektoren als

g (X)

nehmen, um ihre Bilder zu finden, wenn du das meinst, sie in

g (x)

einzusetzen macht nicht viel Sinn, also hoff ich du meinst nich "in"

g (x)

einsetzen, sondern "als"

g (x)

einsetzen.

Briggehossler aktiv_icon

15:01 Uhr, 24.04.2017

Okay das heißt ich habe

g (X) = 1, x, x^{2}, . ., x^{n}

als meine Standarbasis.
Dann setze ich diese in fn

(g (X))

ein und erhalte

\sum ((i + 1) \cdot a_{i} \cdot (1, x, ..., x^{n}))

ledum aktiv_icon

15:21 Uhr, 24.04.2017

Hallo
komisch aufgeschrieben.
wenn du meinst dass du etwa für

e_{3} = x^{3} f (x^{3}) = 3 \cdot x^{2} = 3 \cdot e_{2}

bekommst ist das richtig.
die Schreibweise mit der Klammer ist nicht üblich.
Gruß ledum

Briggehossler aktiv_icon

17:48 Uhr, 24.04.2017

Hallo
Also bekomme ich dann für

e_{1} = x \cdot f (x) = 1 \cdot e_{0}

e_{2} = x^{2} \cdot f (x^{2}) = 2 x = 2 \cdot e_{1}

e_{3} = x^{3} \cdot f (x^{3}) = 3 x^{2} = 3 \cdot e_{2}

. .

e_{n} = x^{n} \cdot f (x^{n}) = n \cdot x^{n - 1}

und wie bekomme ich die Darstellungsmatrix?

ledum aktiv_icon

00:58 Uhr, 25.04.2017

Hallo
was du schreibst ist recht sinnlos, da steht

e 1 = e 0

usw. du meinst hoffentlich

f (e 1) = e_{0}

usw
und dann lies meinen post von

22 : 23

Uhr,

23.04.2017

Gruss ledum

Briggehossler aktiv_icon

10:37 Uhr, 25.04.2017

Hallo

ja ich meinte

f (e_{0})

usw. Also in den Spalten stehen die Bilder der Standardbasis also habe ich es so gemacht:

f (e_{1}) = 1 \cdot e_{0} \Rightarrow 1 \cdot e_{0} + 0 \cdot e_{1} + 0 \cdot e_{2} + 0 \cdot e_{3}

f (e_{2}) = 2 \cdot e_{1} \Rightarrow 0 \cdot e_{0} + 2 \cdot e_{1} + 0 \cdot e_{2} + 0 \cdot e_{3}

f (e_{3}) = 3 \cdot e_{2} \Rightarrow 0 \cdot e_{0} + 0 \cdot e_{1} + 3 \cdot e_{2} + 0 \cdot e_{3}

f (e_{4}) = 4 \cdot e_{3} \Rightarrow 0 \cdot e_{0} + 0 \cdot e_{1} + 0 \cdot e_{2} + 4 \cdot e_{3}

Also habe ich als Matrix:

M = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix})

Aber wie weit muss ich dass fortsetzen? Bis n-mal?

LG

ledum aktiv_icon

23:25 Uhr, 25.04.2017

Hallo
in deinem Text geht es bis

n, i = n + 1

ich bin grad wenig konzentriert, Machs einfach erstmal für

n = 3

oder 4
und dann allgemein
Gruß ledum

Briggehossler aktiv_icon

18:30 Uhr, 26.04.2017

f (e_{1}) = 1 \cdot e_{0}

⇒

1 \cdot e_{0} + 0 \cdot e_{1} + 0 \cdot e_{2} + 0 \cdot e_{3} + ... + 0 \cdot e_{n - 1}

f (e_{2}) = 2 \cdot e_{1}

⇒

0 \cdot e_{0} + 2 \cdot e_{1} + 0 \cdot e_{2} + 0 \cdot e_{3} + ... + 0 \cdot e_{n - 1}

f (e_{3}) = 3 \cdot e_{2}

⇒

0 \cdot e_{0} + 0 \cdot e_{1} + 3 \cdot e_{2} + 0 \cdot e_{3} + ... + 0 \cdot e_{n - 1}

f (e_{4}) = 4 \cdot e_{3}

⇒

0 \cdot e_{0} + 0 \cdot e_{1} + 0 \cdot e_{2} + 4 \cdot e_{3} + ... + 0 \cdot e_{n - 1}

. .

f (e_{n}) = x^{n} \cdot f (x^{n}) = n \cdot x^{n} - 1 = 0 \cdot e_{0} + . . + n \cdot e_{n - 1}

Also habe ich als Matrix

M = ((1, 0, 0, 0, (. .), 0), (, 2, 0, 0, (. .), 0), (0, 0, 3, 0, (. .), 0), (0, 0, 0, 4, (. .) 0), ((. .), (. .), (. .), (. .), . .), (0, 0, 0, 0, (. .), n))

So? Sorry die Matrix ging nicht in eine "schöne " Form.

LG

ledum aktiv_icon

15:22 Uhr, 27.04.2017

Hallo
es ist ungewöhnlich die Basisvektoren mit

e_{0}

zu beginnen, aber dann brauchst du auch das Bild von

e_{0}

der Rest ist richtig.
Gruß ledum

Briggehossler aktiv_icon

13:18 Uhr, 29.04.2017

Super, vielen Dank!

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