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Dichte Menge - in R bzw. Q

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 6. Klassenstufe

Tags: Analysis, Menge

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20:56 Uhr, 13.11.2013

Untersuche ob die Menge

\frac{m}{2^{n}} | m, n e Z

dicht in

R

bzw.

Q

ist.

ich hab irgwie keinen Plan wie das gehen sollte… ob ich vielleicht

{(\frac{m}{2})}^{n}

gegen 0 konvertieren lassen sollte…

VIELEN DANK IM VORRRAAAUS :-))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

10:47 Uhr, 14.11.2013

Warum

{(\frac{m}{2})}^{n}

? Was meinst du mit "konvertieren"?

Ich würde vorschlagen, zu zeigen, dass es zu jedem

c \in ℚ

bzw.

c \in ℝ

eine Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

mit

a_{n} \in {\frac{m}{2^{n}} | m, n \in ℤ}

für alle

n \in ℕ

gibt, so dass gilt

lim_{n \to \infty} a_{n} = c

.

Dazu gebe ich den Hinweis eine Folge

{(m_{n})}_{n \in ℕ}

mit

m_{n} \in ℤ

zu definieren durch:

m_{n} := max {m \in ℤ | m \leq c \cdot 2^{n}}

Betrachte dann

\frac{m_{n}}{2^{n}}

und

\frac{m^{n} + 1}{2^{n}}

.

Eine andere Alternativ wäre zu zeigen, dass für

a, b \in {\frac{m}{2^{n}} | m, n \in ℤ}

auch

a + b \in {\frac{m}{2^{n}} | m, n \in ℤ}

gilt. Anschließend könnte man dann ausnutzen, dass jedes

c \in ℚ

bzw

c \in ℝ

eine dyadische Darstellung besitzt.

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