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Die symmetrische Gruppe

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Abbildung, bijektiv, Gruppen, permutation

 
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Ic3b0ng

Ic3b0ng aktiv_icon

17:42 Uhr, 08.11.2009

Antworten
Aufgabe 1(10 Punkte) (Die symmetrische Gruppe)
Sei [n] die Menge {1,2,...,n}. Mit Sn bezeichnen wir die Menge aller bijektiven Abbildungen
von [n] auf [n].
(a) Zeigen Sie, dass die Menge Sn (mit der Verknüpfung „o“ von Abbildungen) eine
Gruppe bildet.
(b) Weisen Sie nach, dass die Gruppe Sn für n3 nicht kommutativ ist.
Bemerkung: Ein Element σ € Sn heißt Permutation. Wir schreiben σ € Sn in der Form
σ=(1.. 2.. . . ... n.)
.....((1)(2).... σ(n))

Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich da so richtig ran gehen soll.
Eine bijektive Abbildung bedeutet ja, dass jedem Element der einen Menge, genau ein Element der anderen Menge zugewiesen wird.

Die Gruppenaxiome sind mir auch bekannt.

Assoziativität
neutrales Element
inverses Element

Genügt es bei der Assoziativität das zu schreiben?:

a,b,c[n]
ao(boc)=(aob)oc

Das neutrale Element bedeutet ja z.b.:aoe=a

Das inverse Element heisst nix weiter als: aoa-1=e


Ich weiss aber nicht wie ich das bei dieser Gruppe Sn anwenden soll.
Ich komme nicht weiter. Kann mir bitte wer helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

10:16 Uhr, 10.11.2009

Antworten
Assoziativität bei Abbildungen ist so einfach, dass man gar nicht merkt, dass man scon fertig ist :-)

Für x[n] bestimme den Wert von ao(boc) sowie (aob)oc bei x. Es handelt sich in beiden Fällen einfach um a(b(c(x)))
(Übrigens sind a,b,c nicht in [n], sondern in Sn)

Die identische Abbildung ist das offensichtliche neutrale Element.
Inverse gibt es nach Definition von Bijektivität

Für Teil b betrachte die Permutation σ, die 12 vertauscht und die Permutation τ, die 13 vertauscht. Was machen σoτ bzw. τoσ (was passiert etwa mit der 1?)
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