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Differentialaufgabe

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Parameter

ausas aktiv_icon

10:01 Uhr, 02.12.2012

Hallo, könnt ihr mir hier helfen, ich muss

1) die Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Wendepunkt und Extrema bestimmen.
2) ich die Ortskmurve der Extrema bestimmen und
3) Für welchen Wert schneiden sich die Wendetangenten von f senkrecht?

1)Die Funktion lautet: f(x) = (1/4t) *x^4-(1/2)*tx^2-2t^3.

Was ich weiss ist, dass..

die Symmetrie bez. y Achse ist , da f(x) = f(-x)

stimmt es nun, dass ich bei der f -2t^3 weglassen kann denn diese mach die Funktion assymetrisch??

dannhabe ich die X Achsenschnittpunkte bestimmt: x= +2 und x = -2

YAchsenschnittpunkt: y= -2t^3

Extrema:H(2t/0) fallst t<0 oder T( 2t/0) falls t>0

Wendepunkt: f''(x) = 0 => 3x^2/t-t=0 => x=(WURZEL(3) * t )/3 oder x= (-WURZEL(3)*t)/3

nun den Wendepunkt weiss ich nicht wie zu bestimmen...

2) Ortskurve der Extrema=> x= 2t y= 0 dh. Ortskurve liegt auf y=0 ????

3) komme ich nicht draus

könnt ihr mir bitte helfen..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

sixshot aktiv_icon

10:23 Uhr, 02.12.2012

Hallo,

du darfst natürlich keinen Term weglassen ohne das zu begründen. Und um Symetrie zu erreichen, wäre das glatt falsch.

Deine Funltion ist zudem auch Achsensymetrisch, da in deinem Polynom nur gerade Exponenten auftauchen

(4, 2, 0)

.

Wie hast du denn deine Achsenschnittpunkte bestimmt?
Denn ansich stimmt die

\pm 2

aber die Achsenschnittpunkte sollten abhängig sein von

t

.

Wendepunkte ausrechnen?

f'' (x) = 0

und

f''' (x) \neq 0

Für die Ortskurve muss auch wieder für

y

etwas in abhängigkeit von

t

heraus kommen.

Ich hoffe ich konnte dir ein paar hinweise geben.

Grüße

prodomo aktiv_icon

10:28 Uhr, 02.12.2012

Die Symmetrie zur

y -

Achse hast du richtig erkannt. Aber der Term

- 2 \cdot t^{3}

darf nicht weggelassen werden (warum auch, die Funktionswerte auf beiden Seiten sind doch auch so gleich)
Bei den weiteren Rechnungen hast du leider die Ableitungen und Rechenwege nicht angegeben. So kann ich nur feststellen, dass

x_{0} = \pm 2

nur für

t = 1

stimmt, nicht aber für beliebige

t

f_{t} (0) = - 2 \cdot t^{3}

passt naturgemäß für alle.
Hoch- und Tiefpunkte sind nicht korrekt. Die Wendepunkte lasse ich zunächst einmal weg, da vermutlich schon bei den Ableitungen der Wurm drin ist, sonst müssten die Extrempunkte anders aussehen.
Bitte poste zur Kontrolle zunächst die Ableitungen und den Rechenweg zu den Nullstellen (bitte in gut lesbaren Formeln)

ausas aktiv_icon

11:12 Uhr, 02.12.2012

ok die Symmetrie ist mal richtig danke...

Um den x- Achsenschnittpunkt zu bestimmen setzt man y=0 in f => (1/4t)*x^4-(1/2)t*x^2-3t^3 ich bekomme für x= + /- 2*t
Für den y Achsenschnittpunkt setze ich x= 0 => und erhalte y= -2t^3

Um die Extrema zu berechnen setze ich f'(x) = 0 => x^3/t-tx-6t^2= 0, dann ist x= 2t
Ich setze x= 2t in die f'' => 3* 4t^2/t-t =11t => 11t >0 da t>0 => T(2t/0) es gibt nur ein Tiefpunkt...
Wendepunkt : f''(x) =0=> 3x^2/t-t=0, ich erhalte => x= WURZEL(3) *t /3 oder -WURZEL(3) * t/3

nun bei der Ortskurve nimmt man die Extrempunkte => 2t/0 und setzt sie gleich x oder y => 2t=x und 0=y
somit ist die Ortskurve y=0

Stimmt dies bis jetzt??

ausas aktiv_icon

11:36 Uhr, 02.12.2012

SRY HABE VERGESSEN BEI DER FUNKTION IST t>0 NOCH ANGEGEBEN D.H ES GIBT NUR EIN TIEPUNKT^^

prodomo aktiv_icon

11:59 Uhr, 02.12.2012

Für Extrema muss

f' (x) = 0

sein (benutze den ' mit SHIFT # ). Also

t \cdot x^{3} - t \cdot x = 0

. Wegen

t > 0

darfst du durch

t

teilen.

x^{3} - x = 0

ergibt

x \cdot (x^{2} - 1) = 0,

also

x = 0

oder

x = \pm 1

. Jetzt in

f''

einsetzen.

f'' (x) = 3 \cdot t \cdot x^{2} - t

t > 0

beachten. Und nutze den Formeleditor (Leerzeichen berücksichtigen, schau auf die Vorschau. Sonst bin ich irgendwann das Entziffern deiner Texte leid...)

ausas aktiv_icon

12:16 Uhr, 02.12.2012

also ich komme bei Extrema auf x= 2t => die erste Ableitung ist : x^3/t -tx-6t^2 => diese gleich 0 setzen und ich erhalte 2t für x

ausas aktiv_icon

12:16 Uhr, 02.12.2012

also ich komme bei Extrema auf x= 2t => die erste Ableitung ist : x^3/t -tx-6t^2 => diese gleich 0 setzen und ich erhalte 2t für x

ausas aktiv_icon

12:22 Uhr, 02.12.2012

FÜR DIE BESSERE VERSTÄNDUNG HABE ICH DIE AUFGABE IM ANHANG ABGELEGT...

ausas aktiv_icon

13:10 Uhr, 02.12.2012

Kann mir jemand bitte helfen???

anonymous

13:27 Uhr, 02.12.2012

f_{t} (x) = (\frac{1}{4 \cdot t}) \cdot x^{4} - (\frac{t}{2}) \cdot x^{2} - 2 \cdot t^{3}

- 2 \cdot t^{3}

ist eine KONSTANTE und keine Variable

f_{t}' (x) = \frac{x^{3}}{t} - t \cdot x

f_{t}' (x) = 0 \Rightarrow \frac{x^{3}}{t} - t \cdot x = 0

x

herausheben

x \cdot (\frac{x^{2}}{t} - t) = 0

x_{1} = 0

\frac{x^{2}}{t} - t = 0

| \cdot t

x^{2} - t^{2} = 0

x^{2} = t^{2}

x_{2} = t

x_{3} = - t

anonymous

13:40 Uhr, 02.12.2012

Setzt man diese gefundenen x-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein, so erhält man die dazugehörigen y-Werte ( das erspart uns auch die Überprüfung ob Hochpunkt oder Tiefpunkt )

H (0 | - 2 \cdot t^{3})

T_{1} (t | - \frac{9 \cdot t^{3}}{4})

T_{2} (- t | - \frac{9 \cdot t^{3}}{4})

ausas aktiv_icon

13:40 Uhr, 02.12.2012

Vielen DAnk....

weisst du wie mann den Wendepunkt berechnen kann???

anonymous

13:46 Uhr, 02.12.2012

Zweite Ableitung bilden und 0 setzen. Es war ja

f_{t}' (x) = \frac{x^{3}}{t} - t \cdot x

Nochmals differenzieren.

f_{t}'' (x) = \frac{3 \cdot x^{2}}{t} - t

\frac{3 \cdot x^{2}}{t} - t = 0

beide Seiten mit

t > 0

multiplizieren

3 \cdot x^{2} - t^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{t^{2}}{3}

das liefert die Werte

x_{1} = \frac{t}{\sqrt{3}}

und

x_{2} = - \frac{t}{\sqrt{3}}

Statt

\frac{t}{\sqrt{3}}

kann man auch schreiben

\frac{t \cdot \sqrt{3}}{3}

Die fehlenden y-Werte wieder aus der ursprünglichen Funktionsgleichung.

anonymous

13:55 Uhr, 02.12.2012

Zum Vergleich:

W_{1} (- \frac{t}{\sqrt{3}} | - \frac{77 \cdot t^{3}}{36})

und

W_{2} = (\frac{t}{\sqrt{3}} | - \frac{77 \cdot t^{3}}{36})

Bitte nachrechnen, ich rechne numerisch äußerst ungern.

anonymous

13:57 Uhr, 02.12.2012

Noch Fragen, oder kann ich den Adventkranz in Flammen setzen ?

ausas aktiv_icon

13:58 Uhr, 02.12.2012

ich danke dir vielmals, noch die letzte frage, wenn du zeit hast:

für welche werte von t schneiden sich die Wendetangenten von K??

anonymous

14:01 Uhr, 02.12.2012

Viel wichtiger erscheint mir die Frage nach der Ortskurve. Oder wurde das schon gelöst ?

ausas aktiv_icon

14:05 Uhr, 02.12.2012

nein auch nicht, doch ich komme da auf 3 Lösungen:

x1 (0/-2t^3) => y=-2t^3

x2(t/-9t^3/4) => y=-9x^3/4

und

x3(-t/-9t^3/4) => y= 9x^3/4

stimmt das?

anonymous

14:08 Uhr, 02.12.2012

2)

und

3)

ist richtig
Einschränkend muss man hinzufügen, dass wegen

t > 0

und

x = t

bzw.

x = - t

jeweils nur EIN Ast der Kurve relevat ist.

1)

NEIN
Eine Ortskurve dürfte ja kein

t

mehr enthalten. Das muss man anders interpretieren.
Wie ?

ausas aktiv_icon

14:12 Uhr, 02.12.2012

x1 ( 0 / -2t^3) => x=0 und y= -2t^3 , ist y= -2 ??

anonymous

14:16 Uhr, 02.12.2012

Diese Ortskurve ist ein Sonderfall und daher gewöhnungsbedürftig.
Es gilt ja

x = 0

y = - 2 \cdot t^{3}

Welche Punkte der Ebene erfüllen diese Eigenschaft ?
Da

x

IMMER 0 ist, kann ich JEDES beliebige

y

als zweite Koordinate dazugeben.
Also

x

ist IMMER

0,

y=beliebig.
Die einzige Kurve, die diese Eigenschaft hat ist eine Gerade und zwar die y-Achse.
Die Gleichung der y-Achse ist - gewöhnungsbedürftig -

x = 0

ausas aktiv_icon

14:18 Uhr, 02.12.2012

somit ist die Ortskurve dort x=0 ?

vielen dank!

anonymous

14:19 Uhr, 02.12.2012

Noch schnell die Tangenten.
Ich brauche von

W_{1} (- \frac{t}{\sqrt{3}} | - \frac{77 \cdot t^{3}}{36})

und

W_{2} (\frac{t}{\sqrt{3}} | - \frac{77 \cdot t^{3}}{36})

die Anstiege.
x-Wert in die erste Ableitung einsetzen und ausrechnen.
Bitte machen.

ausas aktiv_icon

14:25 Uhr, 02.12.2012

eine ist ( WURZEL(3) - 3* WURZEL(3) * t^2 ) / 9

die andere= (-WURZEL(3) - 3 * WURZEL(3) * t^2 ) / 9

anonymous

14:28 Uhr, 02.12.2012

Ich kann das so nicht lesen.
Ich habe

k_{1} = \frac{2 \cdot t^{2}}{3 \cdot \sqrt{3}}

bzw.

k_{2} = - \frac{2 \cdot t^{2}}{3 \cdot \sqrt{3}}

anonymous

14:31 Uhr, 02.12.2012

Animation.
Wenn nicht nicht gleich "anspringt" nochmals aufrufen.

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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anonymous

14:41 Uhr, 02.12.2012

Ich habe meine Werte nachgerechnet, sie stimmen höchstwahrscheinlich.
Können wir weitermachen, die Zeit drängt.

ausas aktiv_icon

14:49 Uhr, 02.12.2012

k1 * k2 = -1 setzten stimmts?

anonymous

14:52 Uhr, 02.12.2012

Richtig. Hast du das schon ausgerechnet ?
Mein Wert ist

t = \pm \sqrt[4]{\frac{27}{4}}

Den negativen Wert können wir vernachlässigen, da ja

t > 0

vorausgesetzt wurde.

ausas aktiv_icon

14:54 Uhr, 02.12.2012

vielen Dank für die grosse Hilfe, du hast mir sehr sehr sehr viel geholfen!!!!

Ich wünsche Dir noch einen schönen Adventssonntag!!

ausas aktiv_icon

14:55 Uhr, 02.12.2012

VIelen DANk du hast mir sehr sehr geholfen!!!

Ich wünsche Dir einen schönen Adventssonntag!!

anonymous

14:56 Uhr, 02.12.2012

Bild von den Tangenten.
Ebenfalls noch einen guten Sonntag.

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