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Differentialgleichung, Anwendungsaufgabe

Schüler

Tags: Änderungsrate, Anwendungsaufgabe, Differentialgleichung

werner0234 aktiv_icon

13:19 Uhr, 23.08.2014

Hallo, folgende Aufgabe soll gelöst werden:

a)

Das Änderungsrate, bei der eine Substanz sich in bewegter Luft abkühlt, ist proportional zur Differenz zwischen der Temperatur der Substanz und der der Luft.
Man stellt fest, das sich die Substanz bei einer Lufttemperatur von

30^{o}

nach

15

Minuten von

100^{o}

auf

70^{o}

abgekühlt hat. Wann ist die Substanz auf

40^{o}

abgekühlt ?

b)

Wie kann man die Aufgabe mit dem CAS (Voyage200) lösen?

Danke fürs Mitmachen!

Wener

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michael777 aktiv_icon

15:40 Uhr, 23.08.2014

Zeit

t

in Min
Temperatur

T

in °
Temperatur nach

t

Minuten:

T (t)

Anfangstemperatur

T (0)

Lufttemperatur

T_{L}

Proportionalitätsfaktor

k

Temperaturänderung

T' (t)

DGL:

T' (t) = k \cdot (T_{L} - T (t))

diese hat die Lösung

T (t) = T_{L} + (T (0) - T_{L}) \cdot e^{- k \cdot t}

um die Gleichung besser zu verstehen, rechne ich die beiden Fälle

t = 0

und

t \to \infty

aus

t = 0 : e^{- k \cdot 0} = 1

T (0) = T_{L} + (T (0) - T_{L}) \cdot 1 = T (0)

zum Zeitpunkt

t = 0

entspricht die Temperatur der Anfangstemperatur

t \to \infty : e^{- k \cdot t} \to 0

T = T_{L} + (T (0) - T_{L}) \cdot 0 = T_{L}

nach sehr langer Zeit nähert sich die Temperatur der Substanz der Lufttemperatur an

in der Aufgabe ist folgendes gegeben:

T_{L} = 30

T (0) = 100

T (15) = 70

damit kannst du

k

ausrechnen

die Zeit, nach der sich die Substanz auf 40° abgekühlt hat:

T (t) = 40

dann nach

t

auflösen

mit CAS habe ich leider keine Erfahrung, vielleicht kann hier jemand anders weiter helfen

oculus aktiv_icon

17:54 Uhr, 23.08.2014

Hallo Werner,

wenn

y (t)

die Temperatur der Substanz zum Zeitpunkt

t

ist, so ist

y (t) - 30

der Anstieg der Temperatur am Zeitpunkt

t,

also die Differenz zwischen der Substanztemperatur zum Zeitpunkt

t

und der Lufttemperatur von

30^{o}

. Die Differenz soll nun proportional zum Änderungsverhältnis sein.
Das liefert folgende Differentialgleichung
dT(y(t)/dt

= : y' = k \cdot (y

–

30) \Rightarrow

\frac{y'}{y - 30} = k \Rightarrow ln (y

–

30) = k \cdot t + c \Rightarrow y

–

30 = e^{(k \cdot t) + c}

\Rightarrow y = e^{k \cdot t} \cdot e^{c} + 30 \Rightarrow y = λ \cdot e^{k \cdot t} + 30

mit

λ := e^{c}

.
Somit ist

y (t) = λ \cdot e^{k \cdot t} + 30

eine Lösung der Diffgl..
Die Nebenbedingungen sind nach der Aufgabe

y (0) = 100

und

y (15) = 40

und liefern für

λ

und

k

die beiden Gleichungen

y (0) = 100

und

y (15) = 70

.
Zum Schluss muss noch für das endgültige Ergebnis die Gleichung

y (t) = 40

nach

t

aufgelöst werden. Da ich vermute, dass du mit dem Voyage200 arbeiten kannst, braucht das Bild unten keine weitere Erklärung.

Gruß von

oculus

werner0234 aktiv_icon

18:02 Uhr, 24.08.2014

Danke Michael und oculus

für die gut verstandlichen Antworten, die ja im Grunde auf dasselbe herauslaufen. Bei Michael war interessant die Überlegung mit den Grenzfällen

t = 0

und

t \to \infty,

bei oculus hat mich überrascht, wie schnell man eine Anwendungsaufgabe zur Diffgleichung mit dem Rechner lösen kann.

Nochmals herzlichen Dank für euere Mühe !

werner

werner0234 aktiv_icon

11:02 Uhr, 25.08.2014

Alles klar.

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