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Differentialgleichung Textaufgabe mit e- funktion

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Differentialgleichung, Textaufgabe

 
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wintermadness

wintermadness aktiv_icon

15:59 Uhr, 26.01.2008

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Hallo habe bei einer Differentialgleichung ein Problem beim Ansatz:

Aufgabenstellung:

Durch eine Infektion ist der Bestand einer Kaninchenpopulation stark geschrumpft. Nachdem die Epidemie abgeklungen ist, beginnt die Population wieder zu wachsen. Wegen der begrenzten Futtermöglichkeiten und der Bedrohung durch andere Tierarten wächst die Population nach folgender Gleichung:

g ( t ) = k * g ( t ) * ( 3000 g ( t ) )

a.) Die Funktion

g ( t ) = 3000 ( 1 + 2 * e t / 6 )

ist Lösung dieser Differentialgleichung . Bestimme daraus k

b.) Diskutiere die Funktion g(t) und zeichne sie. Berechne auf den Grenzwert für t --> undendlich.

c.) Wie groß ist die Kaninchenpopulation am Anfang.

d.) Wie lange dauert es, bis sich die Population verdoppelt hat?

Mein Problem ist es mit Hilfe der Quotientenregel die Lösung (also g(t)) abzuleiten. Weil wenn man 3000 ableiten will, fällt das doch komplett weg oder nicht?

Danach würde ich in die ursprüngliche ableitung einsetzen und Probieren die unbekannte "k" explizit zu machen. .... Habe ich auch schon mehrmals probiert, nur ich komm auf kein gescheites ergebnis! bitte um Hilfe!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
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Steinedieb

Steinedieb

20:36 Uhr, 26.01.2008

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Hallo,



ich denke b) - d) sind nicht schwer, ich denke da brauchst du keine Hilfe, falls doch mußt du halt nochmal schreiben.



a) hingegen ist eine schwere Aufgabe:

Setze u(t) = 3000 und v(t) = 1 + 2e^(-t/6)

so nun betrachte ich erstmal was rauskommen soll

g'(t) = k * g(t) * (3000 - g(t)) = k * g(t) * (u(t) - g(t)) denn u(t)= 3000

g'(t) = k * g(t) * (u - (u/v)) = k * g(t) * ((u*v)/v - (u/v))

ich habe hier die Klammer auf den gleichen Nenner gebracht

g'(t) = k * g(t) * ((uv - u) / v)

so das soll also rauskommen also versuchen wir unser g' möglichst ähnlich hinzubekommen

g'(t) = (u'v - uv') / v² | Quotientenregel

= -uv'/ v² | wie du schon richtig angemerkt hast ist u'(t) = 0

= (u/v) * (-v'/v) = g(t) * (-v'/v) = g(t) * (-v'/v) * ((uv-u)/v) * ((v/(uv-u))

die beiden Brüche die ich eingefügt habe ergeben 1 wenn man sie miteinander mal nimmt. der erste der beiden sieht genauso aus wie ein Teil der gesuchten Lösung.

= (-v'/(uv-u)) * g(t) * ((uv-u) / v)

so vergleichen wir nun unser g' mit dem aus der Aufgabe gegebenen dann fällt sofort auf

k = (-v' / (uv-u)) setzen wir also nun dies ein und erhalten:

k = (- (-t/6) * 2e^(-t/6)) / (3000 * (1 + 2e^(-t/6)) - 3000)

= ((t/3) * e^(-t/6)) / (3000 + 6000e^(-t/6) - 3000)

= ((t/3) * e^(-t/6)) / 6000e^(-t/6) = (t/3) / 6000 = t/18000



ich hoffe dass dir dies hilft



grüssle steinedieb
wintermadness

wintermadness aktiv_icon

11:13 Uhr, 27.01.2008

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ja habe die aufgabe gelöst! danke für die hilfe!
 
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