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Differentialgleichung lösen mit Separation derriab

Schüler Kooperative Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Differentialgleichung, lösen, Separation, Variablen

711elfelef aktiv_icon

17:54 Uhr, 24.03.2024

Lösen Sie folgende Differentialgleichung mit der Separation der Variablen.

f' (x) = \frac{f (x) - 1}{x}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pivot aktiv_icon

18:06 Uhr, 24.03.2024

Hallo,

ich verwende

y

als

f (x)

. Dann ist die Differentialgleichung

y^{ʹ} = \frac{y - 1}{x}

Nun die Gleichung durch

(y - 1)

\frac{1}{y - 1} y^{ʹ} = \frac{1}{x}

y^{ʹ}

durch

\frac{d y}{d x}

ersetzen.

\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}

Gleichung mit dx multiplizieren

\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x} d x

Variablen sind getrennt. Nun integrieren.

\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x

Die Integrationskonstante (auf der rechten Seite) nicht vergessen. Danach nach

y

auflösen.

Gruß
pivot

KartoffelKäfer aktiv_icon

20:54 Uhr, 24.03.2024

Ich gehe von

f : (0, \infty) \to (1, \infty)

und

x_{0} \in (0, \infty)

aus.

\int_{x_{0}}^{x} \frac{f' (z)}{f (z) - 1} d z = \int_{x_{0}}^{x} \frac{1}{z} d z

\Leftrightarrow \int_{f (x_{0})}^{f (x)} \frac{1}{s - 1} d s = ln (z) |_{x_{0}}^{x}

\Leftrightarrow ln (s - 1) |_{f (x_{0})}^{f (x)} = ln (x) - ln (x_{0})

\Leftrightarrow ln (f (x) - 1) - ln (f (x_{0}) - 1) = ln (x) - ln (x_{0})

\Leftrightarrow ln (f (x) - 1) - ln (x) = ln (f (x_{0}) - 1) - ln (x_{0})

\Leftrightarrow ln (\frac{f (x) - 1}{x}) = ln (\frac{f (x_{0}) - 1}{x_{0}})

\Leftrightarrow \frac{f (x) - 1}{x} = \frac{f (x_{0}) - 1}{x_{0}}

\Leftrightarrow f (x) = (f (x_{0}) - 1) \frac{x}{x_{0}} + 1 = c x + 1

mit

c := \frac{f (x_{0}) - 1}{x_{0}}

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