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Differenzengleichung lösen inkl. Grenzwert

Schüler

Tags: Differenzengleichung, Grenzwert

tom-as aktiv_icon

23:26 Uhr, 24.04.2014

Gute Abend zusammen,

ich habe hier folgende Differenzengleichung vorliegen:

y_{n + 1} = y_{n} \cdot \frac{1}{2} + 2

y_{0} = 0

Aufgabe: Lösen und Grenzwert herausfinden.

Mein Ansatz:

y_{1} = y_{0} \cdot \frac{1}{2} + 2

y_{1} = \frac{y_{0}}{2} + 2

y_{0} = 0 \to y_{1} = 2

dadurch ist

y_{2} = 4

etc.

y_{n} = n + 2

Grenzwert n->Unendlich

y_Unendlich = Unendlich?

Das kann doch nicht stimmen? Wer kann mir helfen?
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Respon

23:34 Uhr, 24.04.2014

Folge ist rekursiv gegeben. Grenzwert ?

y_{n + 1} = \frac{y_{n}}{2} + 2

Sei der Grenzwert

a,

dann gilt

lim_{n \to \infty} y_{n + 1} = a

und

lim_{n \to \infty} y_{n} = a

Also

a = \frac{a}{2} + 2 \Rightarrow a = 4

tom-as aktiv_icon

23:37 Uhr, 24.04.2014

Hi!
Danke schon mal für die Rückmeldung.

Wie meinst du sei der Grenzwert a?

Bzw. wie kommst du nachher überhaupt auf

a = 4

?

Ich blick das echt nicht durch, sorry!

Respon

23:45 Uhr, 24.04.2014

Die ersten Glieder dieser Folge sehen so aus.

y_{0} = 0

y_{1} = \frac{y_{0}}{2} + 2 = \frac{0}{2} + 2 = 2

y_{2} = \frac{y_{1}}{2} + 2 = \frac{2}{2} + 2 = 3

y_{3} = \frac{y_{2}}{2} + 2 = \frac{3}{2} + 2 = 3,5

y_{4} = \frac{y_{3}}{2} + 2 = \frac{3,5}{2} + 2 = 3,75

usw.

tom-as aktiv_icon

23:55 Uhr, 24.04.2014

OK, das ist mir jetzt klar.
Aber wie komm ich von diesem dann auf eine allgemeine Form bzw. die Lösung?

Und der Grenzwert?

Respon

23:56 Uhr, 24.04.2014

Was verstehtst du unter "Lösung" ?
( Grenzwert ist ja klar ).

tom-as aktiv_icon

00:00 Uhr, 25.04.2014

Wow, auf das wäre ich nie gekommen.

Ein Bsp.: wie ich es bisher hatte:

R_{n + 1} = R_{n} \cdot q - r

R_{1} = R_{o} \cdot q - r

R_{2} \cdot R_{1} \cdot q - r = R_{o} \cdot q^{2} - r \cdot q - r

(das

R_{1}

eingestzt)

R_{3} = R_{o} \cdot q^{3} - r \cdot q^{2} - r \cdot q - r

. .

R_{n} = R_{o} \cdot q^{n} - r \cdot \frac{q^{n - 1} - 1}{q - 1}

In Analogie dazu dieses Beispiel zu machen ist dieses doch "anders", oder?

Danke auf alle Fälle für die Mühe!

Ist mir schon um einiges klarer.

Respon

00:14 Uhr, 25.04.2014

Die Folge ist weder eine arithmetrische, noch eine geometrische Folge.
Man kann natürlich die rekursive Darstellung in eine explizite "umbauen", also

y_{n} = ...

(

in Abhängigkeit von

n)

. Vielleicht ist das gemeint.
Die ersten Glieder dieser Folge sehen so aus.

y_{0} = 0 = 4 \cdot (1 - \frac{1}{2^{0}})

y_{1} = \frac{y_{0}}{2} + 2 = \frac{0}{2} + 2 = 2 = 4 \cdot (1 - \frac{1}{2^{1}})

y_{2} = \frac{y_{1}}{2} + 2 = \frac{2}{2} + 2 = 3 = 4 \cdot (1 - \frac{1}{2^{2}})

y_{3} = \frac{y_{2}}{2} + 2 = \frac{3}{2} + 2 = 3,5 = 4 \cdot (1 - \frac{1}{2^{3}})

y_{4} = \frac{y_{3}}{2} + 2 = \frac{3,5}{2} + 2 = 3,75 = 4 \cdot (1 - \frac{1}{2^{4}})

... ...

y_{n} = 4 \cdot (1 - \frac{1}{2^{n}})

lim_{n \to \infty} y_{n} = lim_{n \to \infty} 4 \cdot (1 - \frac{1}{2^{n}}) = 4

( da

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} = 0)

tom-as aktiv_icon

00:28 Uhr, 25.04.2014

Wow, auf das wäre ich nie gekommen.

Ein Bsp.: wie ich es bisher hatte:

R_{n + 1} = R_{n} \cdot q - r

R_{1} = R_{0} \cdot q - r

R_{2} = R_{1} \cdot q - r = R_{o} \cdot q^{2} - r \cdot q - r

R_{3} = R_{0} \cdot q^{3} - r \cdot q^{2} - r \cdot q - r

. .

R_{n} = R_{0} \cdot q^{n} - r \cdot \frac{q^{n - 1} - 1}{q - 1}

In Analogie dazu dieses Beispiel zu machen ist dieses doch "anders", oder?

Danke auf alle Fälle für die Mühe!

Ist mir schon um einiges klarer.

tom-as aktiv_icon

01:39 Uhr, 25.04.2014

Ich doch noch eine weitere Frage:
Der Ausdruck in der Klammer bei dir, ist ja eine geometrische Reihe, aber wie kommst du auf die 4 davor?

Egal was ich mache bei mir steht eine 2 und dadurch ist das Ergebnis dann natürlich falsch.
Wenn du mir das noch erklären könntest, wäre ich vollends zufrieden!

LG und vielen Dank !

Respon

01:54 Uhr, 25.04.2014

"Analogieschlüsse" auf der Suche nach einer Struktur. Nachdem ich den Grenzwert 4 ja schon kenne ( oder erahne