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Differenzierbarkeit bestimmen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

arbeiter aktiv_icon

18:50 Uhr, 10.02.2016

Guten Abend zusammen,

ich bin gerade an der Prüfungsvorbereitung und habe diese Aufgabe bekommen:

Für welche

a \in (0, \infty)

ist

f : ℝ \to ℝ,

f (x) = {| x |}^{a} \cdot cos (\frac{1}{x}), x \neq 0,

f (0) = 0

differenzierbar? Falls möglich, bestimme

f' (0)

.

Mein Ansatz war mit der "gewöhnlichen" Limes-Definition

lim_{h \to 0} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h})

der Diff.barkeit in den 3 Teilgebieten

x \in (0, \infty), x \in (- \infty, 0)

und an

x = 0

anzusetzen.
Da bin ich allerdings nicht mehr weitergekommen. Ein Abschätzen des

cos,

sowie l'Hospital für die Stelle

x = 0 : lim_{h \to 0} (\frac{f (0 + h) - f (o)}{h}) = lim_{h \to 0} (\frac{{| h |}^{a}}{h}) \cdot lim_{h \to 0} (cos (\frac{1}{h}))

haben mir nicht weiter geholfen.

Hat wer eine Idee, wie ich sonst ansetzen könnte?
Ich danke euch für die Hilfe.

In Grüße
euer arbeiter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

21:08 Uhr, 10.02.2016

Im Grunde machst Du es richtig. Es bleibt nur Folgendes zu zeigen: der Grenzwert ist

0

bei

a > 1

, bei

a < 1

existiert er nicht und dass bei

a = 1

sind linker und rechter Grenzwert verschieden. Also, diff-bar in

x = 0

nur bei

a > 1

ledum aktiv_icon

23:42 Uhr, 10.02.2016

Hallo
du darfst aber den

lim cos (\frac{1}{x})

nicht rausziehen, weil er nicht existiert, aber du weisst dass

{cos {\frac{1}{x}) | \leq 1

ist
Gruß ledum

arbeiter aktiv_icon

19:33 Uhr, 11.02.2016

Hi,

wenn ich an der Stelle

x = 0

den Limes ansetze und mit ledum's Tipp abschätze erhalte ich:

cos (\frac{1}{x}) \in [- 1,1] \forall x \in ℝ

- lim_{h \to 0} (\frac{{| h |}^{a}}{h}) \leq lim_{h \to 0} (\frac{{| h |}^{a}}{h} \cdot cos (\frac{1}{h})) \leq lim_{h \to 0} (\frac{{| h |}^{a}}{h})

Also muss ich noch zeigen, dass

lim_{h \to 0} (\frac{{| h |}^{a}}{h})

konvergiert.

\to

konvergiert der linke/rechte Limes der Ungleichung, konvergiert auch unser Diff.quotient.
Boogies Tipp:
Für

a < 1

habe ich offensichtlich am Ende ein

\frac{\infty}{0}

(nur verständnismäßig so geschrieben, in der Prüfung garantiert nicht so).
Wie kann ich dafür die Divergenz zeigen?

Für

a \geq 1 : lim_{h \to 0} (\frac{{| h |}^{a}}{h})

. Mit l'Hospital und d/dh

({| h |}^{a}) = \frac{a}{h} \cdot {| h |}^{a}

folgt

lim_{h \to 0} (\frac{{| h |}^{a}}{h}) = lim_{h \to 0} (\frac{a}{h} \cdot \frac{{| h |}^{a}}{1}) = a \cdot lim_{h \to 0} (\frac{{| h |}^{a}}{h})

=..l'Hospital..=

a^{2} lim_{h \to 0} (\frac{{| h |}^{a}}{h}) = a^{3} lim_{h \to 0} (\frac{{| h |}^{a}}{h}) = . .

.
also folgt (? darf man das so?)

1 = a = a^{2} = a^{3} . .

\Rightarrow a = 1

oder

a = 0

Wie geht's denn jetzt für mich weiter? Falls der

lim \to \infty

steht ja immer noch

\infty = \infty = \infty . .

. (zum Verständnis so geschrieben) da. Konvergenz habe ich damit noch nicht gezeigt.

Danke, falls einer einen Tipp oder eine Lösung parat hat.

Viele Grüße und einen entspannten Abend
arbeiter

ledum aktiv_icon

00:23 Uhr, 12.02.2016

Hallo
da steht doch

| h^{a - 1} a > 0

und dass das gegen 0 geht darfst du ohne Beweis annehmen. sonst eben

{| h |}^{r} < ε

für

| h | < ε^{\frac{1}{r}}

(mit

r > 0)

a < 1 h^{a - 1} = \frac{1}{h^{1 - a}}, (1 - a > 0

und damit

\frac{1}{h} (1 - a) > ε

zB.

ε = 1 h^{1 - a} < 1

also divergent.
Gruß ledum

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