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Dim, kern und Bild

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

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11:57 Uhr, 30.07.2010

Hallo zusammen,
ich brauche dringend euere Hilfe!
ich hab folgende Matrix

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix})

hab selbst den Kern ausgerechent ist = kern(f)

= < (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) >

und ich weiss dass

dim v = dim

kern(f)

+ dim

im(f) ist.
Nun brauche ich erst mal im(f)und jeweilige Dimensionen. kann mir einer sagen wie ich die 3 sachen ausrechnen kann. hab im inet nihcts brauchbares gefunden, was mich weiter bringen könnte!

danke im vorraus.

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12:13 Uhr, 30.07.2010

Nein du musst im(f) gar nicht mehr berechnen, denn du hast durch die 3x3 Matrix A direkt auch dimV gegeben (A beschreibt Abbildung von K³ nach K³ mit Körper K)
Da der Kern von f durch genau EINEN Vektor aufgespannt werden kann kennst du auch seine Dimension.
Daraus ergibt sich dann automatisch auch direkt dim im(f).

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12:25 Uhr, 30.07.2010

Man kann nicht direkt an der Matrix erkennen welche Dimensionen die jeweiligen Räume haben. Die Dimesion von

i m (f)

ist gleich der Dimension des Spaltenraumes dessen Dimension wiederrum gleich des Zeilenraumes ist, man kann jetzt schon erkennen das zwei Zeilenvektoren lin. abh. sind.
Das passt auch mit der Bild-Kern-Formel nicht.

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12:40 Uhr, 30.07.2010

also da ich eine nxn matrix habe

(

in dem fall

3 x 3)

das ist mein

dim v = 3

und und dim kern(f)

= 1 \Rightarrow dim

im(f) = 2??????

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12:45 Uhr, 30.07.2010

Das ist richtig, du kannst so aber nicht argumentieren, du müsstest hier erst den Rang der Matrix bestimmen, der ja gleich der Dimension des Zeilen/Spaltenraumes ist und dann benutzt du die Bild-Kern-Formel.

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12:51 Uhr, 30.07.2010

ah vielen Dank :-)=
jetzt wo wir dabei sind hab noch ne frage aber diesmal gehts um eigenwerte.
als ich hab

A = (\begin{matrix} - 3 & - 2 & 4 \\ 5 & 4 & a \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

die eigenwerte hab ich shcon gerechnet. das sind 2 als doppelter Eigenwert und -1.nun will ich zu jedem eigenwert von A die Dim und eine Basis berechen. meine Frage was muss ich zuerst berechnen??? oder ist es egal? und wie kannich das tun :-)??
sorry dass ich soviele dumme fragen habe, aber ich könnte die Vorlesungen net besuchen da ich sehr viel krank war:(...

Alx123 aktiv_icon

12:59 Uhr, 30.07.2010

Du meinst die Eigenräume, es gilt ja:

A \vec{x} = λ \vec{x} \overset{}{\Leftrightarrow} A \vec{x} - λ E \vec{x} = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} λ \vec{x} \overset{}{\Leftrightarrow} (A - λ E) \vec{x} = 0

Der Eigenraum ist also die Lösungsmenge des homogenen LGS. Das musst du lösen. Die Basis des Eigenraumes sind die Eigenvektoren.

guguli aktiv_icon

13:15 Uhr, 30.07.2010

also ich rechne das mal: für

λ = - 1

(\begin{matrix} - 3 - λ & - 2 & 4 \\ 5 & 4 - λ & a \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 & - 2 & 4 \\ 5 & 5 & a \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \end{matrix}) = 0

dann ab ich

x_{3} = 0

und wennich jetzt Gauß anwende dann hab ich am schluss nur

- 2 x_{1} - 2 x_{2} = 0

also 2 Variablen mit einer Geichung. ich weiss ja dass man bei sochen Fälle einen Freiheitsgrad hat, aber ich weiss nicht für welche Variable welchen wert einsetzen soll oder darf. wie geht das denn?

Alx123 aktiv_icon

13:26 Uhr, 30.07.2010

Das ist egal und hier macht es überhaupt keinen Unterschied. Da man aber ein LGS normalerweise rückwärts löst, benutzt man die letzte Variable als Parameter, hier gilt ja ( habe deine Rechnung nicht überprüft ):

- 2 x_{1} - 2 x_{2} = \overset{}{\Leftrightarrow} x_{1} = - x_{2}

sei:

x_{2} = t

\Rightarrow V_{λ} = (\begin{array}{c} t \\ - t \\ 0 \end{array}) = t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) = t \cdot E_{λ}

V_{λ}

ist natürlich der Eigenraum und

E_{λ}

der Eigenvektor und wie man sieht gilt:

\dim (V_{λ}) = 1

guguli aktiv_icon

13:41 Uhr, 30.07.2010

ah ok, aber was ich nicht verstehe ist, dass man

x_{1} = - x_{2}

hat und wenn man

x_{2} = t

setzt dan ich

x_{1} = - t

und das bedeutet das

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

kommt raus oder hab ich nen gedankenfehler???

Alx123 aktiv_icon

14:29 Uhr, 30.07.2010

Der Eigenraum wird nur von einem Vektor aufgespannt, d.h. der Eigenraum ist eine Gerade und das wiederum heisst ja das alle Elemente dieses Vektoraumes ja natürlich auf der Gerade liegen.
Wenn du beide Eigenvektoren in ein x,y-Koordinatensystem zeichnest wirst du sehen das sie auf der gleichen Gerade liegen, es ist auch egal wie lang der Basisvektor ist, man kann also den Basisvektor mit einem Skalar multiplizieren und diesen wiederum als Basisvektor benutzen.

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