 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Division durch Null gleich Null
Division durch Null gleich Null
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Division, null
 
|
  |
|
|---|---|
|
Hallo zusammen, einige Menschen scheinen ganz naiv davon auszugehen, dass sei, weil und ist. Diese Meinung hat vor eine Weile . eine mir bekannte Grundschullehrerin vertreten. Nach anfänglichem Schmunzeln kam ich dazu, über diese Idee nachzudenken. Warum eigentlich nicht? Angenommen, für alle auch . 1. Gegenargument: Permanenzprinzip verletzt: gilt nicht mehr. Aber: 1. für 0 bereits indeterminant weil wahr für alle also bereits eine Sonderregel. 2. 0 hat in der Multiplikation ebenso Sonderregel als absorbierendes Element, damit wäre 0 auch absorbierendes Element der Division. 2. Gegenargument: 5 Euro auf 0 Personen verteilt? Division als Hintereinanderausführung der Subtraktion. Aber: 0 als Ergebnis scheint nicht ganz abwegig: Wenn etwas an niemanden verteilt wird, ist nichts verteilt worden, also niemand hat nichts erhalten. 3. Gegenargument: . Aber: ist nicht notwendig gleich . Der Nullpunkt macht sich aus Symmetriegründen sogar recht gut, und zwar besser als oder -?), welches keine Zahl ist und zu Widersprüchen oder weiteren Sonderregeln führt. 4. Gegenargument: Division ist definiert über Multiplikation, als Multiplikation mit dem Multiplikativen Inversen. Für für unlösbar. Aber: Durch wäre diese Umformung nicht möglich, sondern . Ja, für wäre die Division nicht über die Multiplikation definiert, sondern über eine Sonderregel. 5. Gegenargument: ist indeterminant, aber für ist undefiniert, also kann nicht beides denselben Wert ergeben. Zumindest liefert ein Indiz dafür, dass ein Wert für beide denkbar ist: 6. Gegenargument: . Aber wenn dann ist . Würde mich darüber freuen, wenn mir aus meiner Verwirrung herausgeholfen würde :-) Gruss Sorokan Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
| |
 |
|
|
Wer und glaubt, mag auch glauben. Allgemein definiert(!) man als die eindeutige Lösung der Gleichung wobei demnach die Multiplikation schon "verstanden" sein muss. Die Gleichung hat gar keine Lösung, bei ist sie nicht eindeutig. Division durch 0 ist demnach nicht definiert. Punkt. Das ist so, als ob man definiert "Das Standbein ist dasjenige Bein, auf dem im Stand der überwiegende Teil des Körpergewichts lastet" und dann fragt: "Was ist das Standbein bei einer Schnecke?" Wenn man auf Teufel-komm-raus per irgendwelchen Analogien für sich persönlch beschließt, den "Bauch" der Schnecke als Standbein zu bezeichnen, handelt es sich keinen sinnvollen Beitrag. Richtig wäre allenfals gewesen, die Definition präziser zu fassen: "BEi einem zweibeinigen Tier ist das Standbein ..." - Es kommt natürlich darauf an, welchen Zahlenbereich manbetrachtet. Nimmt man statt oder den Ring, der nur aus der 0 besteht (mit den Regeln so ist in diesem Ring tatsächlich vertretbar |
|
 |
|
|
Besten Dank. ist vermutlich ein Warnzeichen für beginnende Gehirnerweichung aufgrund der Beschäftigung mit so einem Thema, dort sollte natürlich stehen. Ich verstehe, dass die Definition der Division als Inverses der Multiplikation für nicht möglich und für nicht eindeutig ist. Meine Frage dazu: Ist das reine Definitionssache? Ich vermute, dass man explizit als Sonderregel definieren könnte (um die Sonderregel a//0=undefiniert zu ersetzen), vorausgesetzt, dass keine Widersprüche entstehen. Der einzige Widerspruch, den ich bisher kenne, entsteht durch die Annahme wegen . Ist dagegen definiert, sehe ich keinen Widerspruch. |
|
|
|
|
|
"Ist das reine Definitionssache?" ja. "Ich vermute, dass man explizit als Sonderregel definieren könnte (um die Sonderregel a//0=undefiniert zu ersetzen), vorausgesetzt, dass keine Widersprüche entstehen." wenn du das widerspruchsfrei hinkriegst, dann kannst du definieren was du moechtest. Ich bin auch davon ueberzeugt, dass man das hinkriegt wenn man nur lange genug darueber nachdenkt. die frage hier ist aber nicht, ob das geht, sondern ob das sinn macht. da hat dir hagman schon versucht, das mit dem tier und der schnecke zu erklaeren. den einzigen sinn, den ich bei deiner herangehensweise sehe, ist nur die regeln so umzubiegen, dass es irgendwie verstaendlicher wird fuer leute, die von auf schliessen... lg |
|
|
|
|
|
Ansonsten schau dir mal folgenden Link an. Hier siehst du den Widerspruch zwischen Permanenzprinzip und Wohldefiniertheit. Wenn überhaupt, ist wie dort gezeigt, eher ...aber schau's dir an. http//de.wikipedia.org/wiki/Permanenzprinzip ;-) |
|
|
|
|
|
Gute Frage mit dem Sinn. Dazu würden mir folgende Gründe einfallen: Es gibt Leute, die das so naiv annehmen. Es scheint also eine gewisse "Natürlichkeit" zu haben. In diversen Programmen finden sich oft Stellen wie "if else x/a" Division durch 0 ist eine klassische Fehlerquelle für Programmierer Falls widerspruchsfrei, scheint es mir zumindest sinnvoller als "Infinity" oder "Not-A-Number" oder "Nullity" Ich wäre vor allem an einem Widerspruch interessiert, oder an einem Argument bezüglich des "Großen Gesamtbildes", sprich, würden dadurch zentrale Konzepte der Mathematik verletzt, so dass in jedem Fall der geringe Nutzen negiert würde. |
|
|
|
|
|
Das Permanenzprinzip würde wohl verletzt, ich hatte diesen Artikel schon früher gelesen. Andererseits scheint mit die Definition "x/0=undefiniert", auf einer Metaebene betrachtet, ja bereits eine Sonderregel zu sein, und historisch gesehen die Einführung der Null ebenfalls eine Verletzung des Permanenzprinzips bezüglich des Bruchs mit der Eindeutigkeit der Multiplikation. (Ich verstehe natürlich, dass man nicht einfach so ad hoc gegen das Permanenzprinzip verstoßen sollte, und dass es wohl natürlich das entscheidende Argument ist, aber ich wäre an weiteren Argumenten interessiert) |
|
|
|
|
|
"Es gibt Leute, die das so naiv annehmen. Es scheint also eine gewisse "Natürlichkeit" zu haben." das wird ziemlich philosophisch. ich will nicht behaupten, dass leute so an dinge herangehen und oft der naive gedanke zu neuen ideen fuehrt. aber ist ja das tolle an mathe und allgemein an naturwissenschaften, dass man fehlgeleiteten irrglauben ausschalten kann. es gibt dazu tausende von internetseiten, wie man den menschlichen verstand austricksen kann. danach sollte man die mathematik dann wohl nicht richten... "In diversen Programmen finden sich oft Stellen wie "if else x/a" "Division durch 0 ist eine klassische Fehlerquelle für Programmierer" den else zweig wuerdest du ja mit deiner neuen mathematik gefuellt haben. das wuerde dir ja nur fuer ein bestimmtes a gelingen. was ist mit den anderen a? wenn du aber eine tollen weg findest, wo mehrere a loesung deines mathematischen konstrukts sind, so hast du immernoch irgendwelche else zweige... Falls widerspruchsfrei, scheint es mir zumindest sinnvoller als "Infinity" oder "Not-A-Number" oder "Nullity" infinity passt nicht, da es sich hier nicht um eine nullfolge unterm bruch handelt, sondern einfach nur um null. fuer diese grenzwertbetrachtungen (also der term unter dem bruch geht gegen null) gibt es ja schon fertige mathematik. not a number ist dasselbe wie undefiniert. nur stuerzt hierbei dein programm nicht gleich ab, was wohl nicht teil der mathematik, sondern informatik bleiben sollte. nullity ?? |
|
|
|
|
|
"das wird ziemlich philosophisch. ich will nicht behaupten, dass leute so an dinge herangehen und oft der naive gedanke zu neuen ideen fuehrt. aber ist ja das tolle an mathe und allgemein an naturwissenschaften, dass man fehlgeleiteten irrglauben ausschalten kann. es gibt dazu tausende von internetseiten, wie man den menschlichen verstand austricksen kann. danach sollte man die mathematik dann wohl nicht richten..." Ich wollte auch nicht rumschwurbeln. Ist ein klassisches Crank Thema, das ist mir klar, und indem ich diese Frage aufwerfe, zeige ich gewisse Crankitis, keine Frage :-) "den else zweig wuerdest du ja mit deiner neuen mathematik gefuellt haben. das wuerde dir ja nur fuer ein bestimmtes a gelingen. was ist mit den anderen a?" Ich verstehe nicht ganz. In "if then 0 else x//a". Für mit sollte doch keine weitere Fallunterscheidung notwendig sein? Dieses Beispiel stammt so verkürzt aus "echtem" Programmcode, nur das meinte ich, und rechnet mit der "normalen" Mathematik. Mit "Infinity" meinte ich die erweiterten reellen Zahlen. NAN und DivisionByZeroException und "undefiniert" sind äquivalent, das verstehe ich. Nullity ist eine lustige Erweiterung der reelen Zahlen von einem gewissen Dr. Anderson blog.basquiat.de/archives/388-0-0-Nullity.html). |
|
|
|
|
|
"Ich verstehe nicht ganz. In "if then 0 else x//a". Für mit a≠0 sollte doch keine weitere Fallunterscheidung notwendig sein? Dieses Beispiel stammt so verkürzt aus "echtem" Programmcode, nur das meinte ich, und rechnet mit der "normalen" Mathematik." sorry, mein fehler. was ich meinte if then bla bla bla else hier wuerdest du ja irgendwie mit deiner neuen mathematik das bla bla bla fuellen, so dass man diese if abfrage nicht mehr braucht. wenn du schon oefters programmiert hast wirst du feststellen, dass das bla bla bla je nach aufgabenstellung immer anders aussieht. entweder wirst du deine neue mathematik also hinbekommen, dass es nur ein bestimmtes bla bla bla gibt. was wird also aus den anderen faellen. oder deine tolle mathematik wird meherere loesungen fuer das bla bla bla haben, dann brauchst du wiederum if abzweigungen... |
|
|
|
|
|
Ehrlich gesagt, ist die mir geläufigste häufigere Rückgabe oder bei Ausgaben auch häufig die Strings "-", "", "N/A". Damit möchte ich natürlich nicht sagen, dass es keine anderen Fälle gibt. Ich möchte nur behaupten - das ist aber natürlich sehr subjektiv - dass es ein oft anzutreffendes Muster ist, einen Wert für weitere Berechnungen auf 0 zu setzen, also gerade für Summen zu ignorieren. Aber ja, ich sehe ein, dass man hier verschiedene Anforderungen für eine Fallunterscheidung haben kann. Hättest Du ein paar Beispiele, um das Thema abzuschließen? |
|
 |
|
|
bleibt natürlich undefiniert, aber ich werde mich just for fun weiter auf die Suche nach einem Widerspruch für begeben. Besten Dank für Eure Antworten :-) |
|
anonymous 12:18 Uhr, 10.05.2010 |
|
|
Hallo
Ich möchte noch ein Argument betonen, das ich aus den bisherigen Ausführungen noch nicht so deutlich herausgelesen habe. Das Argument lautet: Wenn ich definieren würde, dann würde ich Information verlieren! Begründung: Stellen wir uns vor, ein Taschenrechner, ein Computerbildschirm, eine Tabelle oder was auch immer würde den Wert "0" ausweisen. Wir könnten nicht unterscheiden, ob diese Angabe eine echte NULL im üblichen Sinne (für NICHTS) bedeutet, oder ob sie durch Division durch NULL und unter Nutzung obiger Definition entstanden ist. Der SINN des Begriffs 'Nullity', 'not_a_number', 'Error' oder wie auch immer er heißen mag, liegt doch gerade darin, uns darauf hinzuweisen, dass die zugrunde liegende Rechnung sinnlos war! Die 'Nullity' ist also wichtige Information! In anderen Worten: Wenn ich definiere, dann wird das Zeichen "0" zweideutig! Ich weiß dann eben nicht mehr, ob es für die echte NULL, oder für 'Nullity' steht. Mehr noch: Wenn wir definieren, dann müsste der Rechnungs-Ausdruck konsequenterweise auf einem Taschenrechner, Computerbildschirm oder in einer Tabelle die Ausgabe "7" bewirken. . wir wüssten dann auch nicht mehr, was das Zeichen "7" bedeutet. Wir könnten nicht mehr mit Sicherheit sagen, ob der Ausdruck "7" zuverlässig den Wert SIEBEN im üblichen Sinne repräsentiert, ODER ob diese Ausgabe durch irgend einen verzwickten, unsinnigen Hergang entstanden ist, wie Folglich: Durch die Definition wäre der Ausdruck "7" nicht mehr zuverlässig die Zahl "7" wäre der Ausdruck "2" nicht mehr zuverlässig die Zahl "2" wäre der Ausdruck "-3" nicht mehr zuverlässig die Zahl "-3" wäre der Ausdruck "11.234" nicht mehr zuverlässig die Zahl "11.234" Ergo: Die gesamte Mathematik würde auf dem Kopf stehen! Und das ist meines Erachtens ein so schwerwiegendes Argument, dass andere Überlegungen wie "naive Natürlichkeit" dagegen verstummen... |
|
|
|
|
|
Geht nicht. |
|
|
|
|
|
zu cube2: Ja, und 0 wären damit nicht mehr unterscheidbar. Allerdings setzt Du voraus, dass sinnlos ist. Wenn man das begründen möchte, dann landet man vermutlich bei den oben diskutierten Argumenten, die daher grundlegender sind. Zu HP7289: Das verstehe ich nicht, vermutlich wegen fehlender Zeichen. Würdest Du mir da helfen und das nochmal mit (zwei Slashs) aufschreiben? Vielen Dank. |
|
anonymous 15:55 Uhr, 10.05.2010 |
|
|
IST sinnlos!
|
|
|
|
|
|
cube2: "1//0 IST sinnlos!" Und inwiefern stellt dieses großgeschriebene "ist" mit nachgestelltem Ausrufungszeichen eine grundlegendere Begründung dar als . die Unmöglichkeit der Definition der Division über das Multiplikative Inverse oder die Verletzung des Permanenzprinzips? ;-) |
|
|
|
|
|
Bei Anzeigeproblemen: www.onlinemathe.de/hilfe/software Ansonsten hier dein Widerspruch: img696.imageshack.us/img696/4668/widerspruch.jpg |
|
|
|
|
|
Vielen Dank! Ich hatte Chrome verwendet.. wundert mich, dass die Anzeige im WebKit versagt. Naja - wer lesen kann, ist klar im Vorteil :-) Der Schritt im 6. Gleichheitszeichen benutzt was der angenommenen Definition von widerspricht. Unter der Annahme bleibt dagegen als Endresultat . |
|
|
|
|
|
Bezüglich der Ordnungsrelationen für Brüche ergibt sich eine weitere Verletzung des Permanenzprinzips: für gilt gilt gilt jedoch für mit 0: gilt gilt gilt aber nicht gilt |
|
|
|
|
|
Hallo, jetzt will ich auch noch mal meinen Senf dazu geben :-) Natürlich kann man eine Division durch Null definieren. Da kann man dann sagen, was man will, z.b. . Vielleicht kann man daraus eine wunderbare mathematische Theorie entwickeln (ich persönlich bezweifle das, aber man kann das ja mal durchdenken, wenn man will :-) ). Leider wird diese mathematische Theorie eine neue Mathematik sein, die nicht mit der allgemein gängigen Mathematik übereinstimmen KANN, denn dort ist die Division durch Null (bis auf wenige Ausnahmen, wie z.B. die von hagman weiter oben erwähnte) wirklich schlicht nicht definiert ist. Und alle grundsätzlichen Aussagen der Mathematik bauen darauf auf, dass diese Rechenoperation nicht möglich ist. Daher wird man keine allgemeine Möglichkeit finden, eine Division durch Null sinnvoll zu definieren (und zwar so, dass sie mit keiner bewiesenen mathematischen Aussage im Widerspruch steht). Einen Beweis dafür hat HP7289 gebracht, denn bekanntlich ist und das rechnen mit rationalen Zahlen ist ein gültiger Bestandteil der gängigen Mathematik. Wo wir schon mal bei Ausnahmen sind, mir fällt da noch ein nicht triviales Beispiel ein, in dem eine Division durch Null SINNVOLL definiert ist, und zwar bei der Einpunktkompaktifizierung der komplexen Ebene. Dort ist , wobei das Symbol eines zusätzlichen Punktes zu ist. Lieben Gruß Sina |
|
|
|
|
|
Hallo Sina, ich kann und möchte ja nicht die Mathematik umschreiben, ist und bleibt undefiniert. Ich finde es einfach nur interessant :-) "Und alle grundsätzlichen Aussagen der Mathematik bauen darauf auf, dass diese Rechenoperation nicht möglich ist" Kannst Du mir ein Beispiel zeigen? "Einen Beweis dafür hat HP7289 gebracht, denn bekanntlich ist und das rechnen mit rationalen Zahlen ist ein gültiger Bestandteil der gängigen Mathematik". Sein Beweis ist eine Variante von . Ein Widerspruch sollte aber die Definition berücksichtigen, was dieser Beweis leider nicht tut. Ich vermute ja stark, dass es einen Widerspruch gibt. Ich habe ihn leider nur noch nicht gefunden. Lieber Gruß Sorokan |
|
|
|
|
|
Also, wie schon gesagt, es gibt ein grundsätzliches Problem mit der Schreibweise. Man definiert normalerweise auf einer Menge von Zahlen, z.B. die reellen oder rationalen Zahlen, zwei Verknüpfungen, in diesem Beispiel die Addition und die Multiplikation. Diese Mengen müssen einige Bedingungen erfüllen, davon wären z.B. Es existiert für die Verknüpfung + ein Element , so dass für alle Zahlen gilt: . Man nennt dann das neutrale Element von +. Das wäre hier die 0. Zudem existiert zu jedem auch ein , so dass ist. Man zeigt dann, dass eindeutig ist, und nennt dann . Das selbe macht man mit der Multiplikation, nur nennt man hier das neutrale Element einfach 1 und die inversen Elemente werden durch bezeichnet. Daher muss, wenn du die Division von 0 konsitent mit der Division der anderen Zahlen machen möchtest gelten, dass ist. Wenn du sagst, dass ist, dann mag das nicht unbedingt auf einen Widerspruch führen. Da aber das neutrale Element der Addition ebenfalls eindeutig ist, ist ledigleich eine andere Schreibweise für die Null. Setzt du jedoch , so gilt nämlich ebenfalls: Also offensichtlich ist das ein Widerspruch. |
|
|
|
|
|
Die folgenden Aussagen beziehen sich auf den Körper der rationalen Zahlen, da (fast) ausschließlich dieser in der Alltagsmathematik Verwendung findet (wahrscheinlich kann man einen Körper konstruieren in dem gilt): Wie kommt man auf ? Das ist für mich überhaupt nicht intuitiv und logisch. je kleiner der ausdruck im nenner ist, desto größer ist das resultat, wieso sollte das plötzlich auf null zusammenbrechen? ergibt für mich nicht mehr sinn wie . Unmathematisch notiert macht für mich am ehesten sinn. Als ich in der dritten oder vierten Klasse war und ich noch nicht viel über Analysis wusste, war ich auch schon sehr interessiert an der Mathematik, aber dass sowas wie sein solle, kam mir auch als kleines unwissendes Kind nicht in den Sinn. Also was ist daran bitteschön intuitiv? Bei könnte ich mir noch vorstellen, dass man dies ganz naiv zu 1 setzt, aber darauf dass dem nicht so ist fußt bspw. die differentialrechnung. außerdem wenn dann da wenig intuitiv wie ich finde |
|
|
|
|
|
"Daher muss, wenn du die Division von 0 konsitent mit der Division der anderen Zahlen machen möchtest gelten, dass ist." Wenn ich dich richtig verstehe, dann verstößt gegen das Permanenzprinzip und eine Definition über das Multiplikative Inverse für 0 ist nicht möglich. Das ist mir soweit klar. Ich fürchte, hier drehen wir uns im Kreis, aber vielleicht verstehe ich Dich doch nicht richtig? |
|
|
|
|
|
"a//0=0 ergibt für mich nicht mehr sinn wie a//0=5." führt direkt zu einem Widerspruch: "Unmathematisch notiert macht a//0=∞ für mich am ehesten sinn." Das führt aber entweder zu direkten Widersprüchen oder einer ganzen Reihe von Sonderregeln für das Element . Philosophisch betrachtet macht es für mich tatsächlich Sinn, das Unendliche und das Nichts gleichzusetzen. Beiden ist gemeinsam, dass sie alle Möglichkeiten enthalten - kosmologisch ist die Summe aller Ladungen und Energien unseres vielleicht unendlichen Universums vermutlich 0. Aber auf dieser Ebene kann und möchte man sicher keinen gemeinsamen Nenner finden :-) |
|
|
|
|
|
Leider zeigt mir die Forumsoftware an, dass das Thema automatisch beendet sei. Jedenfalls vielen Dank an Euch. Die Antworten waren ausführlich und interessant. Vielleicht ist der eine oder die andere von meiner Sturheit verärgert, deswegen möchte ich noch einmal betonen, dass nur ein Gedankenspiel ist, und es mir einigermaßen klar, dass sich die normale Mathematik - ich schätze insbesondere die Gruppenstruktur - nicht mit dieser Definition vereinbart, weil dadurch ein Sonderfall für das inverse und das neutrale Element der Multiplikation definiert wird (besten Dank noch mal an Sina für diese ausführliche Darstellung). Aber nach wie vor wäre ich an einem Widerspruch oder einem offensichtlichen Verlust von Aussagekraft und Anwendbarkeit interessiert. Aber vermutlich ist das viel Aufwand, der sich sicher nicht lohnt :-) |
760860
756558