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Doppelte Nullstelle bei Extrempunkt auf X-Achse
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 11:30 Uhr, 06.06.2004  |
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Hallo! Ich habe folgendes Problem: Ich soll für ein Referat einen Beweis erstellen, dass bei einem Extrempunkt auf der X-Achse auch gleichzeitig eine Doppelte Nullstelle auftritt. Nun mein Problem. Was ist zum Teufel eine Doppelte Nullstelle ??? Danke schonmal! |
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anonymous 12:37 Uhr, 06.06.2004 |
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Hallo Doppelte Nullstelle heißt, dass an dieser Stelle die x-Achse nur tangiert wird. Dass lässt sich rechnerisch z.B. bei einer quadratischen Funktion so herausfinden, dass man bei der Lösung mit der p/q-Formel z.B. 7 +/- 0 herausbekommt, dann ist bei 7 eine doppelte Nullstelle, weil 7 + 0 = 7 und 7 - 0 = 7 ist. (logisch) Ich hoffe ich habe dir damit ein Wenig helfen können! |
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Hallo Floh! Die ganzrationale Funktion f hat an der Stelle x0 eine doppelte Nullstelle genau dann, wenn f in der Form f(x)=g(x)*(x-x0)^n (mit n >= 2 und g ganzrational) geschrieben werden kann. Sei im Folgenden f eine ganzrationale Funktion mit einer Nullstelle bei x0 und einer Extremstelle bei x0, dann gilt: (I) f(x0)=0 , aufgrund der Definition der Nullstelle (II) f'(x0)=0 , aufgrund eines Satzes Nun machen wir uns Gedanken über die Polynomdivision f(x)/(x-x0). Angenommen, diese Polynomdivision ginge nicht auf, dann gilt: f(x)/(x-x0)=g(x) + Rest/(x-x0) mit Rest!=0 ==> f(x) = g(x)*(x-x0) + Rest ==> für x x0 einsetzen ==> f(x0) = 0 = g(x0)*(x0-x0) + Rest ==> Rest = 0 Also kann man f(x) in der Form g(x)*(x-x0) aufschreiben. Auf g kann man das Verfahren nochmal anwenden, womit f(x)=h(x)*(x-x0)^2 herauskommt. Angenommen, diese zweite Polynomdivision würde nicht aufgehen, dann würde gelten: f(x)=g(x)*(x-x0) mit g(x0)!=0 ==> f'(x) = g'(x)*(x-x0) + g(x) ==> für x x0 einsetzen ==> f'(x0) = g'(x0)(x0-x0) + g(x0) = g(x0) != 0 ==> Widerspruch zur Annahme einer Extremstelle bei x0 Also kann f in dieser Form aufgeschrieben werden und hat deshalb bei x0 eine doppelte Nullstelle. Gruß |
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