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Dringend Hilfe benötigt

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Tags: Analysis

 
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anonymous

anonymous

10:51 Uhr, 21.04.2004

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Habe ein ziemliches Problem wegen meinem Mathevordiplom und hoffe, dass mir hier jemand helfen kann. Ich muß einen Beweis aus der Analysis 1 und 2 am Anfang führen und finde in den Standartbüchern keine guten Beweise außer den Mittelwertsätzen.Vielleicht weiß ja hier jemnd einen guten der so in etwa 10 Minuten dauert.Irgendwas in Richtung Konvergenz, Stetigkeit, Satz von Schwarz kann aber auch etwas wie die Irrationalität von pi sein. Hoffe sehr, dass mir jemand helfen kann.
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Marian

Marian

15:44 Uhr, 21.04.2004

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Hallo Foa!



Die Irrationalitätsbeweise für pi (Ludolphsche Zahl) und e (Eulersche Zahl) hätte ich. Vor allem dann Beweis der Irrationalität von e ist nicht so kompliziert (und vor allem existieren mehrere, die einfach sind. Vielleicht zu einfach.



Mit dem "pi" ist es schon etwas komplizierter, aber um so interessanter (man benutzt Integralrechnung und einige anderen Sachen, die in Ana1 und Ana2 bekannt sein sollten).



Sehr schön ist dann auch Beweis der Transzendenz von e. Dieser würde ich dir vielleicht empfehlen.



Die Transzendenz von "pi" ist dann recht komliziert mit den elementaren Methoden zu beweisen.



Schreibe mir noch, am besten bis morgen früh, in diesem Forum, ob du an diesen Beweisen interessiert bist. Morgen könnte dann einer von diesen hier im Forum erscheinen.



Und noch etwas zu den Beweisen aus Analysis. Hier gibt´s auch viele schöne. Je nachdem jedoch, was du konkret bracuhst, und womit du dich näher beschäftigst.



Ich helfe dir vor allem mit der analytischen Zahlentheorie sehr gern.







Viele Grüße

Marian
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Marian

Marian

15:53 Uhr, 22.04.2004

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Du meldest dich nicht. Ich zeige dir also den Beweis der Irrationalität der Ludolphschen Zahl PI.

Theorem:
Die Zahl PI ist irrational.

Beweis:
Sei f(x) ein Polynom mit den reellen Koefizienten. Wir definieren die Funktion F(x):


















F ( x ) = f ( x ) - f ′ ′ ( x ) + f ( 4 ) ( x ) - f ( 6 ) ( x ) + ... f(x) sei aber Polynom des endlichen Grades, d.h. für gewisse k oder grössere Zahlen wird gelten:
f ( k ) ≡ 0. Es gilt weiter:
d d ⁢ x [ F ′ ( x ) sin ⁢ x - F ( x ) cos ⁢ x ] = [ F ′ ′ ( x ) + F ( x ) ] sin ⁢ x = f ( x ) sin ⁢ x ⇒ ⇒ ∫ 0 π f ( x ) sin ⁢ x ⅆ x = F ( π ) + F ( 0 ) . Sei PI rational, d.h. PI = a/b. Wir werden definieren:
f ( x ) = b n n ! x n ( π - x ) n = 1 n ! x n ( a - b ⁢ x ) n Klar ist, dass:
f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = ... = f ( n - 1 ) ( 0 ) = 0 Aus den Eigenschaften der Ableitung des Polynoms (natürlich auch des unseren) ergibt sich, dass folgende Zahlen ganze Zahlen sind:

f ( 0 ) ,   f ′ ( 0 ) ,   ... ,   f ( 2 n ) ( 0 ) Weil f(x) = f(PI - x), gilt noch:
f ( l ) ( x ) = ( - 1 ) l f ( l ) ( π - x ) ,   l = 0 ; 1 ; 2 ; ... ⇒ ⇒ f ( l ) ( π ) = ( - 1 ) l f ( l ) ( 0 ) ,   l = 0 ; 1 ; 2 ; ... ⇒ f ( l ) ( π ) ∈ ℤ ⇒ ⇒ F ( π ) + F ( 0 ) ∈ ℤ ⇒ ∫ 0 π f ( x ) sin ⁢ x ⅆ x ∈ ℤ . Wir zeigen weiter, dass aber zugleich gelten müsse:
0 < ∫ 0 π f ( x ) sin ⁢ x ⅆ x < 1. Weiter: f(x) > 0 und 0 < x <pI; dann ist das letzte Integral positive Zahl. Weiter machen wir die Abschaetyung dieses Integrals>
∫ 0 π f ( x ) sin ⁢ x ⅆ x ≤ ∫ 0 π f ( x ) ⅆ x < b n n ! π 2 n ∫ 0 π 1 ⅆ x = π ( a 2 / b ) n n ! < 1 Das wird gelten fuer hinreichend grosse n (das ist doch erlaubt -es widerspricht den Voraussetzungen nicht). Damit sollte ungefähr der Beweis komplet sein. Manche Kleinigkeiten und Zwischenschritte musst du aber selbst machen.

Viele Grüße
Marian
P.S.:
Und noch eine kleine Bemerkung. Die letzte Ungleichung ergibt sich davon, dass: lim n → ∞ c n n ! = 0.
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anonymous

anonymous

08:15 Uhr, 23.04.2004

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Hi Leuts!



Ich habe genau das gleiche Problem: ich suche einen Eingangsbeweis für das Mathe Vordiplom (bin Physiker). Euere Vorschläge waren jetzt schon echt gut.



Was könntet ihr euch sonst noch aus Analysis 1/2 vorstellen an Sätzen, die nicht zu kompliziert, aber auch nicht zu einfach sind?



Vielen Dank schonmal



Gruß

Phil