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Eigenvektor

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Eigenwerte

Tags: Eigenvektor, Eigenwert, linear abhängig

 
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MassMath45

MassMath45 aktiv_icon

17:23 Uhr, 20.05.2015

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Hi, ich habe selbst einen Eigenvektor ermittelt. Er lautet
v=(1,-1,0). Ich habe zur Kontrolle mit Wolfram alpha das Ergebnis überprüft und dort heißt der EV: v=(-1,1,0). Ich habe bei Wikipedia nachgelesen und dort hab ich das zumindest so vertstanden, dass alle Linearkomb. vom EV richtig sind. Ist also mein EV korrekt? Er ist ja nur um einen FAktor -1 verschieden von der Computerlösung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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peepee

peepee aktiv_icon

07:38 Uhr, 21.05.2015

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Wenn Du bei der Bestimmung der Komponenten eines Eigenvektors (bezüglich deiner Basis) feste Werte heraus hast, hast Du mit Sicherheit bei der Berechnung eine Komponente als einen festen Wert festgelegt. Eigentlich "sollte man" die "übrigbleibende" Komponente zu einer unbestimmten Konstanten setzen, so dass der Eigenvektor eigentlich wäre:
v=c(1,-1,0) wobei c nun alles sein kann. Damit hast du dann die Antwort auf deine Frage.

Warum ist das so? Was löst man denn bei einer Eigenvektorgleichung. Zum Verständnis:

Man sucht einen Vektor v, der durch eine Matrix A nur in der Länge verändert wird, nicht aber in der Richtung, man stellt also die Gleichung auf

Av=λv und gelangt dann zum speziellen Eigenwertproblem
(A-λE)v=0

Hierbei handelt es sich um ein homogenes Gleichungssystem, was nur lösbar ist, wenn es linear Abhängige Zeilen/Spalten in der Matrix (A-λE) gibt. Das ist dann (ohne Beweis) der Fall, wenn die Determinante der Systemmatrix A-λE gleich Null ist. So bestimmt man ja den Eigenwert/die Eigenwerte. Eben genau die Werte, für die A-λE linear abh. Zeilen/Spalten hat.

Was bedeuten nun linear abh Zeilen/Spalten. Es bedeutet, dass Informationen redundant sind.
Ein schönes Gleichungssystem hat immer n Gleichungen und n unbekannte usw. Wenn aber nun eine Zeile keine Extrainformationen enthält (->linear abh.) ist sie quasi nicht da und auf einmal hat man weniger Gleichungen als man braucht, um eine eindeutige Lösung zu bestimmen.

Und was heisst das nun? Man stelle sich vor die Gleichung

x+y=5

Du sagst, Du wählst y=-2 und bestimmst damit x=7. Das ist aber nur eine von unendlich vielen Lösungen Eigentlich sollte man y=c setzen und sagen, die Lösung ist:
x=5-c

Das sieht natürlich trivial und nicht der Rede wert aus, wenn man es bei einer GLeichung mit zwei unbekannten betrachtet, aber genau das ist die Vorgehensweise bei der Bestimmung von Eigenwerten.


Frage beantwortet
MassMath45

MassMath45 aktiv_icon

09:02 Uhr, 22.05.2015

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Vielen Dank dafür!