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Eigenvektoren - Haupspannungsrichtungen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Hauptspannungsrichtungen, Vektorraum

romchr aktiv_icon

14:16 Uhr, 31.01.2016

Hallo,

ich soll für einen Spannungstensor die Hauptspannung( den Eigenwert) bestimmen und dann den Eigenvektor berechnen.

Die Ausgangsmatrix für den Eigenwert lambda = 3 lautet

(\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{2}}{4} \\ - \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} & - \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{\sqrt{2}}{4} & - \frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} \end{array})

Da die Determinante = 0 ist muss ich nur zwei Gleichungenbetrachten.

Ich streiche also die letzte Zeile und komme nach dem invertieren der Matrix auf

(\begin{array}{rcl} e_{x} \\ e y \end{array}) = (\begin{array}{rcl} \sqrt{2} \\ - 1 \end{array}) * e_{z}

Das stimmt soweit noch laut Musterlösung.

Jetzt habe ich zwei Ansätze einmal

e_{x}^{2} + e_{y}^{2} + e_{z}^{2} = 1

oder ich wähle e_z =1 und normiere dann nochmal

beides führt mich auf den Eigenvektor

e = 1 / 2 * (\begin{array}{rcl} \sqrt{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array})

in der Musterlösung heist es allerdings

- 1 / 2 * (\begin{array}{rcl} \sqrt{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array})

Mir ist klar, dass ich beim Wurzel ziehen bei beiden Lösungsvarianten zwei Lösungen bekomme. Aber woher weiß ich, dass ich mich für die negative Lösung entscheide?

Als Hinweis:
In der Musterlösung wurden erst zwei andere Eigenvektoren bestimmt und danach per Kreuzprodukt der Eigenvektor für lambda = 3.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

14:33 Uhr, 31.01.2016

Hallo,

ich habe nicht nachgerechnet, bin auch kein Physiker und wei daher nicht, ob mein Einwand relevant ist, aber: auf diese Weise erhält man ein Rechtssystem aus Eigenvektoren.

Mfg Michael

romchr aktiv_icon

14:38 Uhr, 31.01.2016

Ist mein System ein Rechtssystem oder wenn ich es mit einem Minus ansetze?

In wie weit ist meine Lösung somit "falsch" ?

romchr aktiv_icon

08:00 Uhr, 01.02.2016

Ich habe mir noch ein paar Gedanken gemacht und mir ist aufgefallen, dass ich oben in der Ausgangsmatrix ein paar Wurzeln zu viel habe :
Also hier nochmal die richtige Matrize nach abziehen des Eigenwertes (lambda =3 ):

A = (\begin{array}{rcl} - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{(} 2)}{4} & \frac{\sqrt{(} 2)}{4} \\ - \frac{\sqrt{(} 2)}{4} & - \frac{5}{4} & - \frac{3}{4} \\ \frac{\sqrt{(} 2)}{4} & - \frac{3}{4} & - \frac{5}{4} \end{array})

n = (\begin{array}{rcl} n_{x} \\ n_{y} \\ n_{Z} \end{array})

A * n = 0

d e t (A) = 0

Also ist A schonmal nicht invertiertbar aber ich darf eine Zeile rausstreichen.(Stimmt soweit ? )

(\begin{array}{rcl} - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{(} 2)}{4} & \frac{\sqrt{(} 2)}{4} \\ - \frac{\sqrt{(} 2)}{4} & - \frac{5}{4} & - \frac{3}{4} \end{array}) * (\begin{array}{rcl} n_{x} \\ n_{y} \\ n z \end{array}) = 0

(\begin{array}{rcl} - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{(} 2)}{4} \\ - \frac{\sqrt{(} 2)}{4} & - \frac{5}{4} \end{array}) * (\begin{array}{rcl} n_{x} \\ n_{y} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - \frac{\sqrt{(} 2)}{4} \\ \frac{3}{4} \end{array}) * n_{z}

woraus nach invertieren der ersten Matrize folgt:

(\begin{array}{rcl} n_{x} \\ n_{y} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - \frac{5}{2} & \frac{\sqrt{(} 2)}{2} \\ \frac{\sqrt{(} 2)}{2} & - 1 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} - \frac{\sqrt{(} 2)}{4} \\ \frac{3}{4} \end{array}) * n_{z}

(\begin{array}{rcl} n_{x} \\ n_{y} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} \sqrt{2} \\ - 1 \end{array}) * n_{z}

Dann nehme ich an dass der Betrag der Einheitsvektoren 1 ist.

n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2} = 1

2 n_{z}^{2} + 1 n_{z}^{2} + n_{z}^{2} =

4 n_{z}^{2} = 1

n_{z} = + - 1 / 2

Woher weiß ich für welches

n_{z}

ich mich jetzt entscheide?

Die Musterlösung lautet

n_{x} = - \frac{\sqrt{(} 2)}{2}

n_{y} = - \frac{1}{2}

n_{z} = + \frac{1}{2}

In der Musterlösung wird erst der Eigenvektor für lambda = 1 dann für lambda = 2 berachnet und lambda = 3 über das Kreuzprodukt berechnet.

Mir ist klar, dass mein Koordinatensystem wenn ich - 1/2 wähle gedreht ist, aber woher weiß ich welche Richtung ich wählen sollte um auf ein Rechtssystem zu kommen bzw. mit welchem Eigenvektor ich anfangen sollte?

michaL aktiv_icon

08:21 Uhr, 01.02.2016

Hallo,

> Ist mein System ein Rechtssystem oder wenn ich es mit einem Minus ansetze?

Mit dem Kreuzprodukt wird es automatisch ein Rechtssystem. Deines ist demnach keines.

> In wie weit ist meine Lösung somit "falsch" ?

Gute Frage. Dazu braucht es jemanden mit mehr Ahnung von Physik. Mathematisch ist auch ein Linkssystem nicht falsch.

Mfg Michael

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