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Eigenwertproblem in DGL

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: DGL, elliptisch, Partielle Differentialgleichungen, Poisson

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09:44 Uhr, 11.02.2015

Aufgabe

(P D E) - Δ u = λ u + f (x, y)

λ = 2 \cdot π^{2} u n d f (x, y) = 0

(B C) u = 0

u_{x x} = U_{W} - 2 U_{P} + U_{E} / h^{2} u n d u_{y y} = U_{N} - 2 U_{P} + U_{S} / h^{2}

Hallo,
ich habe eine Frage zur obigen DGL. Das ganze soll numerisch mit Matlab gelöst werden über einen Differenzenstern. Das eigentliche Problem daran ist, dass das die Grundfunktion u auch auf der Rechten Seite ist. Hat einer eine Idee, wie ich die Grundfunktion mit in den Differenzenstern einbauen kann?

Wäre über jede Idee dankbar :-)

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

18:05 Uhr, 11.02.2015

Hallo,

für den Wert

u

auf der rechten Seite setzt man jeweils den Mittelpunkt des Differenzensterns ein, also

U_{P}

.

Viele Grüße
Yokozuna

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14:39 Uhr, 12.02.2015

Also ich habe jetzt für den Differenzenstern:

U_{w} - U_{N} + U_{S} + U_{P} (- 4 - λ \cdot h^{2}) = f \cdot h^{2}

sodass in der Matrix in der Diagnoalen immer

- 4 - λ \cdot h^{2}

steht. Ist das so richtig?

Grüße und danke für die Antwort

Yokozuna aktiv_icon

15:25 Uhr, 12.02.2015

Es fehlt noch

u_{E}

und das Vorzeichen von

u_{N}

ist falsch, also:

u_{W} + u_{E} + u_{N} + u_{S} + u_{P} \cdot (- 4 - λ \cdot h^{2}) = f \cdot h^{2}

Sonst ist alles ok.

Viele Grüße

Yokozuna

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15:48 Uhr, 15.02.2015

Erstmal danke für die Antwort..
das Problem ist jetzt nur, dass das Gebiet komplett flach ist sobald ich f(x,y)=0 setze.

Kannst du mir vllt erklären was genau ein Eigenwertproblem ist? Google liefert mir iwie nur sehr mathematische Zusammenhänge..

Grüße

Yokozuna aktiv_icon

19:00 Uhr, 15.02.2015

Hallo,

ich habe oben nicht so genau hingeschaut. Ich war von der Differentialgleichung

Δ u = λ \cdot u + f

ausgegangen (ich habe das Minus nach (PDE) als Gedankenstrich aufgefasst). Dazu passt die von mir am

12.02

. angegebene Diskretisierung.

Vermutlich soll die Differentialgleichung aber

- Δ u = λ \cdot u + f

lauten. Dann muss man bei der Diskretisierung von

Δ

natürlich alle Vorzeichen umdrehen, also

- u_{W} - u_{E} - u_{N} - u_{S} + u_{P} \cdot (4 - λ \cdot h^{2}) = f \cdot h^{2}

Bei Deiner Frage oben war nur von einer numerischen Lösung dieser PDG die Rede, nicht aber von einem Eigenwertproblem (dieses Stichwort taucht nur im Tag auf). Vielleicht wäre es sinnvoll, wenn Du mal die komplette Aufgabenstellung hier wiedergibst

(z . b

. auch Form und Größe des Grundgebiets, ich vermute mal rechteckig oder sogar quadratisch).

Viele Grüße
Yokozuna

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09:56 Uhr, 16.02.2015

Es soll ein Prgramm erstellt werden, welche die DGL löst.
(PDE)

- Δ u = λ \cdot u + f (x, y)

in dem Gebiet

Ω = (0, 1) x (0, 1) m i t Δ x = Δ y

einmal mit rein Dirichletschen Randbedingungen und einmal mit rein Neumannrandbedingungen.

Das ganze soll dann an Zwei Beispielen getestet werden:

1 . λ = 2 \cdot π^{2}, f (x, y) = 0 (B C) : u = 0

2 . λ = 1, f (x, y) = (2 \cdot π^{2} - 1) \cdot c o s (π \cdot x) \cdot c o s (π \cdot y) m i t (B C) = u_{n} = 0

Ich habe schon was geschrieben nur leider lässt sich schwer sagen ob das so richtig ist was ich da gemacht habe und ich weiß nicht wie ich es überprüfen soll.

Meine Gleichungssystem sieht dann aus wie auf dem Bild.

Nochmal Danke :-)

Grüße

Yokozuna aktiv_icon

15:54 Uhr, 16.02.2015

Wir betrachten jetzt zuerst mal die Teilaufgabe 1 mit der Randbedingung

u = 0

.

Du hast leider nicht gesagt, wie groß bei Dir

h

ist, aber ich habe mal in meine Kristallkugel geschaut. Die war leider etwas beschlagen, aber ich vermute folgendes:

Du hast das Gebiet in

x -

und y-Richtung jeweils in 4 Teilintervalle zerlegt, also ist

h = 0.25

.
Die Funktionswerte an den 9 inneren Punkten hast Du mit

u_{1}

bis

u_{9}

bezeichnet (ich hätte da die Bezeichnungen

u_{1,1}, u_{1,2}

usw. bevorzugt).
Ich hätte die Matrix auch mit

h^{2}

durchmultipliziert, denn dann tritt der Term

h^{2}

nur noch in der Hauptdiagonalen auf. In der von Dir angegebenen Matrix ist die linke obere Teilmatrix (grün dargestellt) richtig, aber bei den beiden anderen grünen Teilmatrizen steht in der oberen Nebendiagonale fälschlicherweise immer 0 statt

- \frac{1}{h^{2}}

(bzw.

- 1

bei der mit

h^{2}

durchmultiplizierten Matrix).

Wenn ich die Matrix jetzt mal mit

M (=

Deine Matrix mit

h^{2}

durchmultipliziert) bezeichne, dann lautet wegen

f \equiv 0

das zu lösende Gleichungssystem

M \cdot \vec{u} = 0

Für

λ = 2 \cdot π^{2}

und

h = 0.25

ist

det (M) \approx - 235.09 \neq 0

. Daher hat dieses homogene Gleichungssystem nur die eindeutig bestimmte Lösung

\vec{u} = 0

. problematisch wird es nur, wenn die Elemente in der Hauptdiagonalen alle gleich Null sind, also

4 - λ \cdot h^{2} = 0,

denn dann ist wegen

det (M) = 0

das Gleichungssystem nicht mehr eindeutig lösbar.

Was hat dies nun mit einem Eigenwertproblem zu tun? Vielleicht (oder besser hoffentlich) kennst Du ja Eigenwertprobleme bei Matrizen, also

A \cdot \vec{v} = λ \cdot \vec{v}

mit einer quadratischen Matrix A. Für

\vec{v} = 0

ist diese Gleichung immer erfüllt, aber beim Eigenwertproblem interessiert man sich nur für Vektoren

\vec{v} \neq 0

. Hat man so eine Lösung gefunden, dann nennt man

λ

einen Eigenwert und

\vec{v}

den zugehörigen Eigenvektor.

Nun kann man diese Betrachtungsweise auf elliptische Differentialoperatoren übertragen. Ist also

L

ein elliptischer Differentialoperator

(z . B

L = - Δ),

dann betrachtet man das Eigenwertproblem

L u = λ \cdot u

mit

u = 0

auf dem Rand des Gebiets.

u \equiv 0

ist immer eine Lösung dieser Gleichung, aber auch hier interessiert man sich nur für Lösungen

u,

die nicht identisch verschwinden sowie ihre zugehörigen Eigenwerte

λ

. Derartige Lösungen

u \neq 0

nennt man dann Eigenfunktion.

Wie sieht das nun in Deinem Fall aus. Das Gebiet sei rechteckig

[0, a] \times [0, b]

und das Eigenwertproblem laute

- Δ u = λ \cdot u

mit

u = 0

auf dem Rand des Gebiets. Die Lösungen für dieses Eigenwertproblem sehen folgendermaßen aus:

u (x, y) = sin (m \cdot π \cdot \frac{x}{a}) \cdot sin (n \cdot π \cdot \frac{y}{b})

mit

m, n \in ℕ

. Sowohl in

x -

und in y-Richtung passt jeweils immer eine ganzzahlige Anzahl von Sinushalbwellen in das Gebiet. Dieses

u (x, y)

erfüllt also immer die Randbedingung

u = 0

. Man kann auch leicht nachrechnen, dass dieses

u

für bestimmte

λ

auch die Gleichung

- Δ u = λ \cdot u

erfüllt. Es ist:

- Δ u = {(m \cdot \frac{π}{a})}^{2} \cdot u + {(n \cdot \frac{π}{b})}^{2} \cdot u = [{(m \cdot \frac{π}{a})}^{2} + {(n \cdot \frac{π}{b})}^{2}] \cdot u = λ \cdot u

mit

λ = {(m \cdot \frac{π}{a})}^{2} + {(n \cdot \frac{π}{b})}^{2}

. Es gibt also unendlich viele Eigenwerte samt ihren zugehörigen Eigenfunktionen. Setzt man in Deinem Fall hier

a = b = 1

und

m = n = 1,

so erhält man

λ = 2 \cdot π^{2}

.

Das in der Aufgabe 1 angegebene

λ

ist also ein Eigenwert und es gibt deshalb für Teil 1 eine Lösung

u \neq 0 :

u (x, y) = sin (π \cdot x) \cdot sin (π \cdot y)

Mit dem numerischen Verfahren bekomme ich aber diese Lösung nicht, sondern nur die triviale Lösung

u \equiv 0

. Ich nehme mal an, dass dies mit dieser Aufgabe demonstriert werden soll.

So, jetzt brauche ich erst mal eine Milchschnitte.

Viele Grüße
Yokozuna

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