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Ein Integralproblem

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Integration

Tags: Integration

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18:49 Uhr, 23.04.2024

Hallo !! Ich habe ein Integral, dass soll die Wahrscheinlichkeit eines Punktes angeben.
Der Erwartungswert, habe ich schon herausgefunden ist 0. Jetzt geht es noch um die mittleren Schwankungsquadrate also (∆k)² ≡

〈 (k - 〈 k 〉)^{2} 〉

.
Ich gehe jetzt davon aus, dass ich den Erwartungswert richtig ausgerechnet habe.
Dann ist dass mittlere Schwankungsquadrat (mit der Funktion eingesetzt)

\frac{2 σ}{\sqrt{2 * π}} * \int_{- \infty}^{\infty} k^{2} * e^{{- 2 * σ}^{2} k^{2}} d k

Hier bin ich mir auch zu 99,9% sicher, das alles richtig ist.
Nun kommt mein Problem bei der Berechnung dieses Integrals. (Der Einfachheithalber werde ich die Integralgrenzen weglassen)
Zuerst partielle Integration

f (k) * g ʹ (k) d k = g (k) * f (k) - \int (f ʹ (k) * g (k) d k

Ich nehme

f (k) = k^{2}

f ʹ (k) = 2 k

und

g ʹ (k) = e^{{- 2 * σ}^{2} k^{2}}

.
Meine eigentliche Idee wäre hier gewesen die Gausssche Integralidentität anzuwenden

\int (e^{- a x^{2}} d x) = \sqrt{\frac{π}{a}}

dann wäre

g (k) = \sqrt{\frac{π}{2 σ^{2}}}

.

Hier tritt aber mein Problem auf setze ich jetzt in

f (k) * g ʹ (k) d k = g (k) * f (k) - \int (f ʹ (k) * g (k) d k

die Funktionen ein dann habe ich

\frac{2 σ}{\sqrt{2 * π}} * \int_{- \infty}^{\infty} k^{2} * e^{{- 2 * σ}^{2} k^{2}} d k = \frac{2 σ}{\sqrt{2 * π}} (k^{2} * \sqrt{\frac{π}{2 σ^{2}}} - \int (2 k * \sqrt{\frac{π}{2 σ^{2}}} d k)

Jetzt ziehe ich hier die Konstante vor das Intgral und hätte

\frac{2 σ}{\sqrt{2 * π}} * \int_{- \infty}^{\infty} k^{2} * e^{{- 2 * σ}^{2} k^{2}} d k = \frac{2 σ}{\sqrt{2 * π}} (k^{2} * \sqrt{\frac{π}{2 σ^{2}}} - \sqrt{\frac{π}{2 σ^{2}}} * \int (2 k * d k)

2 k

integriert ergibt dann

0, 5 k^{2}

und das Mittlere Schwankungsquadrat wäre 0
Das ergibt gerade wenig Sinn für mich.
Vielleicht hat jemand eine Idee wo mein Fehler ist und könnte mich auf den Richtigen Weg stoßen?
Oder gibt es vielleicht auch eine Identität zum lösen für obiges Integral?

Vielen Dank für eure Hilfe jetzt schon im Vorraus
Sollte etwas unklar sein versuche ich alles besser und klarer zu beschreiben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

23:25 Uhr, 23.04.2024

Hallo
"Meine eigentliche Idee wäre hier gewesen die Gausssche Integralidentität anzuwenden"
Es gilt vielleicht

\int_{- \infty}^{\infty}

e^(-ax^2)dx

= \sqrt{\frac{π}{a}}

ABER
für die partielle Integration hast du ja nicht die Grenzen

[

-Unendlich; +Unendlich],
sondern müsstest du eben eine allgemeine Integration, eben eine Funktion in Abhängigkeit der Variablen

k

bestimmen.
Das wäre sicherlich wieder eine Funktion in Abhängigkeit von

k,

wurde meines Wissens noch von keinem Menschen dieser Welt explizit gelöst,
und wäre sicherlich keine Konstante

(\sqrt{\frac{π}{a}})

Roman-22

00:46 Uhr, 24.04.2024

>

Ich nehme

f (k) = k 2,

fʹ(k)=2k und gʹ(k)=e−2∗σ2k2.

Warum nicht

f (k) = k

mit

f' (k) = 1

und

g' (k) = k \cdot e^{- 2 σ^{2} k^{2}}

mit

g (k) = - \frac{1}{4 σ^{2}} \cdot e^{- 2 σ^{2} k^{2}}

Damit sollte sich dann

\frac{2 σ}{\sqrt{2 π}} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} k^{2} \cdot e^{- 2 σ^{2} k^{2}} d k = \frac{1}{4 σ^{2}}

ergeben.

>

Oder gibt es vielleicht auch eine Identität zum lösen für obiges Integral?
Ich weiß nicht wie 'bekannt'

\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} \cdot e^{- a \cdot x^{2}} d x = \frac{1}{2 a} \cdot \sqrt{\frac{π}{a}}

für

a > 0

ist
Noch ein wenig allgemeiner

\to

en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral#Integrals_of_similar_form

>

Vielen Dank für eure Hilfe jetzt schon im Vorraus
Für den Voraus genügt ein einfaches "r" ;-)

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