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Eindeutige Lösbarkeit des Gleichungssystems

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Linear Abbildung

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Jonny94

Jonny94 aktiv_icon

14:39 Uhr, 17.02.2017

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Hallo,
ich versuche grade folgende Aufgabe zu lösen:

Für welche Werte von a (element der Reelen Zahlen) ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar?

Das Gleichungssystem laute:

x 1 - 2 x 2 +

ax3

= 3

- x 1 + 5 x 2 - 2 x 3 = - 6

2 x 1 - 7 x 2 +

3ax3

= 9

Wenn ich das System mit dem Gaußalgorithmus löse erhalte ich folgende Form:

1 - 2 + a = 3

0 + 3 - 2 + a = - 3

0 + 0 + (- 2 + 2 a) = 0

Damit das System überhaupt lösbar ist müsste man für a nun die 1 einsetzen, dann würde dort aber eine 0 Zeile stehen und es wären unendlich viele Lösungen.
Ist es überhaupt möglich einen Wert für a zu bestimmen der eine eindeutige Lösung ergibt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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Simor

Simor aktiv_icon

14:47 Uhr, 17.02.2017

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Kann es sein, dass dir bei der gegaussten Variante vom GS die

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

verloren gegangen sind?

Jonny94

Jonny94 aktiv_icon

14:51 Uhr, 17.02.2017

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Ja stimmt richtig wäre

1x1-2x1+ax3=3
0x1+3x2-(2+ax3)=-3
0x1+0x2-(2+2ax3)=0

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Simor

Simor aktiv_icon

14:59 Uhr, 17.02.2017

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Nun, dann muss ja a nicht mehr zwingend 1 sein sondern

a \cdot x_{3}

muss

- 1

sein...

Was bekommst du, wenn du damit weiterrechnest?

Jonny94

Jonny94 aktiv_icon

15:07 Uhr, 17.02.2017

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Verstehe ich irgendwie nicht ganz

ich würde jetzt die letzte Zeile also

- 2 + 2 a = 0

setzen und erhalte dann für a den Wert 1.

Setze ich diesen nun in das Gleichungssystem ein würde in der letzten Zeile stehen:

- 2 + 2 \cdot 1 = 0

und das wäre

0 = 0

was ja laut definition unendlich viele Lösungen wären.

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rundblick

rundblick aktiv_icon

15:16 Uhr, 17.02.2017

Antworten

.
"Das Gleichungssystem laute:

x1−2x2+ ax3

= 3

−x1+5x2−2x3=−6
2x1−7x2+ 3ax3

= 9

^ ist das die Original-Aufgabe ?

da du sehr unsorgfältig arbeitest

\to

bitte schreibe auf, ob du
die zweite Zeile

(\to

−x1+5x2−2x3=−6 ) so richtig notiert hast ?
(kein a steht da rum... im Unterschied zu späteren Notierungen)

\to

.

Antwort

Simor

Simor aktiv_icon

15:17 Uhr, 17.02.2017

Antworten

Ich habe das jetzt mal selber durchgerechnet und komme nach Gauss auf:

x_{1} - 2 x_{2} + a \cdot x_{3} = 3

0 + 3 x_{2} + (a - 2) \cdot x_{3} = - 3

0 + + (2 \cdot a - 2) \cdot x_{3} = 0

Damit di letzte Zeile aufgeht gibt es neben

a = 1

(was ja, wie du richtig gesagt hast zu unendlich vielen Lösungen führt) auch die Variante

x_{3} = 0

für beliebige

a . .

.

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