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Eindeutige Lösbarkeit des Gleichungssystems

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Linear Abbildung

 
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Jonny94

Jonny94 aktiv_icon

14:39 Uhr, 17.02.2017

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Hallo,
ich versuche grade folgende Aufgabe zu lösen:

Für welche Werte von a (element der Reelen Zahlen) ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar?

Das Gleichungssystem laute:

x1-2x2+ ax3 =3
-x1+5x2-2x3=-6
2x1-7x2+ 3ax3 =9

Wenn ich das System mit dem Gaußalgorithmus löse erhalte ich folgende Form:

1-2+a=3
0+3-2+a=-3
0+0+(-2+2a)=0

Damit das System überhaupt lösbar ist müsste man für a nun die 1 einsetzen, dann würde dort aber eine 0 Zeile stehen und es wären unendlich viele Lösungen.
Ist es überhaupt möglich einen Wert für a zu bestimmen der eine eindeutige Lösung ergibt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
Simor

Simor aktiv_icon

14:47 Uhr, 17.02.2017

Antworten
Kann es sein, dass dir bei der gegaussten Variante vom GS die x1,x2 und x3 verloren gegangen sind?
Jonny94

Jonny94 aktiv_icon

14:51 Uhr, 17.02.2017

Antworten
Ja stimmt richtig wäre

1x1-2x1+ax3=3
0x1+3x2-(2+ax3)=-3
0x1+0x2-(2+2ax3)=0
Antwort
Simor

Simor aktiv_icon

14:59 Uhr, 17.02.2017

Antworten
Nun, dann muss ja a nicht mehr zwingend 1 sein sondern ax3 muss -1 sein...

Was bekommst du, wenn du damit weiterrechnest?
Jonny94

Jonny94 aktiv_icon

15:07 Uhr, 17.02.2017

Antworten
Verstehe ich irgendwie nicht ganz

ich würde jetzt die letzte Zeile also -2+2a=0 setzen und erhalte dann für a den Wert 1.

Setze ich diesen nun in das Gleichungssystem ein würde in der letzten Zeile stehen: -2+21=0 und das wäre 0=0 was ja laut definition unendlich viele Lösungen wären.
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

15:16 Uhr, 17.02.2017

Antworten
.
"Das Gleichungssystem laute:

x1−2x2+ ax3 =3
−x1+5x2−2x3=−6
2x1−7x2+ 3ax3 =9

^ ist das die Original-Aufgabe ?

da du sehr unsorgfältig arbeitest bitte schreibe auf, ob du
die zweite Zeile ( −x1+5x2−2x3=−6 ) so richtig notiert hast ?
(kein a steht da rum... im Unterschied zu späteren Notierungen)


.
Antwort
Simor

Simor aktiv_icon

15:17 Uhr, 17.02.2017

Antworten
Ich habe das jetzt mal selber durchgerechnet und komme nach Gauss auf:

x1-2x2+ax3=3
0+3x2+(a-2)x3=-3
0++(2a-2)x3=0

Damit di letzte Zeile aufgeht gibt es neben a=1 (was ja, wie du richtig gesagt hast zu unendlich vielen Lösungen führt) auch die Variante x3=0 für beliebige a...
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