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Eindeutige Lösung für Gruppe beweisen

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Gruppen

Tags: Gruppen

Lila0103 aktiv_icon

21:11 Uhr, 24.09.2017

Hallo ihr lieben! Die Problemstellung könnt ihr dem Bild entnehmen. Es geht um Aufgabe

13

. Bitte um ausführliche Beschreibung der Lösung, Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

mihisu aktiv_icon

21:35 Uhr, 24.09.2017

Du widersprichst dich:
Einerseits schreibst du "Bitte um ausführliche Beschreibung der Lösung".
Andererseits hast du "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." ausgewählt.

Was denn nun?

Hast du schon eigene Ideen oder Lösungsversuche?
Ansonsten gebe ich mal den Tipp, dass die eindeutige Lösbarkeit darauf beruht, dass es zu jedem Element der Gruppe ein eindeutiges Inverses gibt.

Man kann die eindeutige Lösung übrigens angeben:

x = b \circ c^{- 1} \circ a^{- 1}

Lila0103 aktiv_icon

22:00 Uhr, 24.09.2017

Wie kommt man denn darauf?

Dass man nach

x

umstellen muss war mir klar. Aber wie genau mache ich das mit den Verknüpfungen? Und wie beweise ich, dass meine Lösung korrekt ist?

mihisu aktiv_icon

22:39 Uhr, 24.09.2017

Zunächst einmal, wie ich auf die Lösung gekommen bin: Durch Auflösen nach

x

a^{- 1} \circ x^{- 1} \circ b = c

Multiplikation mit

a

von links

x^{- 1} \circ b = a \circ c

Multiplikation mit

b^{- 1}

von rechts

x^{- 1} = a \circ c \circ b^{- 1}

Inversenbildung

x = {(a \circ c \circ b^{- 1})}^{- 1} = {(b^{- 1})}^{- 1} \circ c^{- 1} \circ a^{- 1} = b \circ c^{- 1} \circ a^{- 1}

Zum Beweis der eindeutigen Lösbarkeit:
Man muss zwei Teile beweisen:
1. Die Gleichung ist lösbar.
2. Die Lösung der Gleichung ist eindeutig.

Den ersten Teil kann man wohl am einfachsten beweisen, indem man zeigt, dass

x = b \circ c^{- 1} \circ a^{- 1}

eine Lösung der Gleichung ist.

Beim zweiten Teil kann man zeigen, dass wenn

x_{1}

und

x_{2}

zwei Lösungen der Gleichung sind, dass dann

x_{1} = x_{2}

ist.

\\\\
Ausführlicher Beweis:

Für

x = b \circ c^{- 1} \circ a^{- 1} \in G

ist

x^{- 1} = a \circ c \circ b^{- 1}

. Denn es ist

(b \circ c^{- 1} \circ a^{- 1}) \circ (a \circ c \circ b^{- 1})

= b \circ c^{- 1} \circ a^{- 1} \circ a \circ c \circ b^{- 1}

= b \circ c^{- 1} \circ e \circ c \circ b^{- 1}

= b \circ c^{- 1} \circ c \circ b^{- 1}

= b \circ e \circ b^{- 1}

= b \circ b^{- 1}

= e

bzw.

(a \circ c \circ b^{- 1}) \circ (b \circ c^{- 1} \circ a^{- 1})

= a \circ c \circ b^{- 1} \circ b \circ c^{- 1} \circ a^{- 1}

= a \circ c \circ e \circ c^{- 1} \circ a^{- 1}

= a \circ c \circ c^{- 1} \circ a^{- 1}

= a \circ e \circ a^{- 1}

= a \circ a^{- 1}

= e,

wobei

e

das neutrale Element der Gruppe

(G, \circ)

sei.

Demnach ist für

x = b \circ c^{- 1} \circ a^{- 1} \in G

a^{- 1} \circ x^{- 1} \circ b = a^{- 1} \circ a \circ c \circ b^{- 1} \circ b = e \circ c \circ e = c,

weshalb

x = b \circ c^{- 1} \circ a^{- 1} \in G

eine Lösung der Gleichung

a^{- 1} \circ x^{- 1} \circ b = c

ist.

Damit wurde gezeigt, dass die Gleichung lösbar ist.

Seien nun

x_{1} \in G

und

x_{2} \in G

Lösungen der Gleichung

a^{- 1} \circ x^{- 1} \circ b = c

.

Dann ist

a^{- 1} \circ x_{1}^{- 1} \circ b = c = a^{- 1} \circ x_{2}^{- 1} \circ b

.

Dann ist

x_{1}^{- 1} = a \circ a^{- 1} \circ x_{1}^{- 1} \circ b \circ b^{- 1} = a \circ c \circ b^{- 1} = a \circ a^{- 1} \circ x_{2}^{- 1} \circ b \circ b^{- 1} = x_{2}^{- 1}

.

Dann ist

x_{1} \cdot x_{1}^{- 1} = e

und

x_{2} \cdot x_{1}^{- 1} = x_{2} \cdot x_{2}^{- 1} = e

.
Wegen der Eindeutigkeit des zu

x_{1}^{- 1} \in G

inversen Elementes folgt daher

x_{1} = x_{2}

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