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Einfache Bruchgleichung

Schüler Berufsoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Bruchgleichung

Anne-23 aktiv_icon

15:56 Uhr, 07.07.2010

Hallo,

ich brauche bitte mal die richtige Lösung der anhängenden Aufgabe. Bei mir kommt

x = - 6

raus und ich fürchte, dass das nicht ganz stimmt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bruchterme und Bruchgleichungen

sarose

15:58 Uhr, 07.07.2010

Mach doch eine Probe. Dabei setzt du dein gefundenes Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein. Steht links das selbe wie rechts, hast du richtig gerechnet.

Edit: Habe deine Gleichung mal mit dem Rechner gelöst. Du hast dich verrechnet.

MathFun

16:09 Uhr, 07.07.2010

x=-6 ist falsch.

Es gibt 2 Lösungen:

x1=6/7(3-wurzel(26)i)

x2=6/7(3+wurzel(26)i)

Anne-23 aktiv_icon

16:10 Uhr, 07.07.2010

Zum einen habe ich gerade festgestellt, dass es eigentlich 6 und nicht

- 6

lauten müsste. Davon abgesehen, kommt auf beiden Seiten nicht das selbe raus.

Astor aktiv_icon

16:11 Uhr, 07.07.2010

Hallo,
hier kann man die Nenner faktorisieren. Dann multipliziert man die Gleichung mit (x-2).
Dann wird das schon einfacher.
Gruß Astor

Anne-23 aktiv_icon

16:13 Uhr, 07.07.2010

Kommt zwischendrin so was raus?

3 x^{2} - 36 x + 180 = 0

sarose

16:18 Uhr, 07.07.2010

Mit dem Rechner habe ich für

x = - 4 \frac{2}{3}

(edit:hatte das Minus vergessen).

Es wäre gut, wenn du deine Rechnung mit Zwischenergebnis posten würdest. Dann könnten wir erkennen an welcher Stelle es hakt.

Gruß Sarose

Anne-23 aktiv_icon

16:24 Uhr, 07.07.2010

Ich finde meinen Fehler nicht!

sarose

16:29 Uhr, 07.07.2010

Gleich in der ersten Zeile hast du einen Fehler beim Zusammenfassen gemacht.

Klar der Nenner ist gleich und somit kann man die Zähler zusammenfassen, doch vor dem deinem einen Bruch steht ein Minus, welches sich auf den nachfolgenden Zähler bezieht. Also ein Beispiel:

- \frac{2 x - 2}{x + 3} + \frac{5 x^{2} - 6}{x + 3} = \frac{- (2 x - 2) + (5 x^{2} - 6)}{x + 3}

Anne-23 aktiv_icon

19:20 Uhr, 07.07.2010

Also ich habe diese Aufgabe jetzt mehrfach gerechnet und ich komme einfach nicht darauf. Jetzt habe ich zum Beispiel

2,57

raus. Kann mir jemand bitte die komplette Aufgabe schrittweise vorrechnen?

-dude- aktiv_icon

23:02 Uhr, 07.07.2010

Sooft ich das auch rechne ich bekomme keine reelle Lösung. Mein Taschenrechner hat die Gleichung ebenfalls als ohne Lösung ausgespuckt. Kann es sein, dass die Lösung komplex sein soll oder, dass keine Lösung auch möglich ist?

Ich habe gerechnet:

\frac{0, 5 x^{2} - x}{2 x^{2} - 4 x} + \frac{2 x - 12}{6 x - 12} - \frac{x - 30}{2 x^{2} - 4 x} = 0

0, 5 x^{2} + \frac{2}{3} x^{2} - 6 x + 30 = 0

\frac{7}{6} x^{2} - 6 x + 30 = 0

Und das hat keine reelle Lösung

Anne-23 aktiv_icon

08:38 Uhr, 08.07.2010

Also bei den bisherigen Aufgaben (die um ein Vielfaches einfacher waren) kam immer was raus. Aber ich rechne mit dieser pq-Formel und in der Nachhilfe lassen wir dann einfach das unter der Wurzel weg, wenn es negativ ist.

Hier noch mal meine neue Rechnung:

vulpi aktiv_icon

10:38 Uhr, 08.07.2010

Hallo, deine Rechnung stimmt schon, wird ja auch durch die Ergebnisse der Anderen
bestätigt.

Es darf doch eine Gleichung auch mal KEINE Lösung haben, das ist doch
legitim.

Die korrekte Antwort lautet somit einfach

L = \emptyset

Es gibt KEIN

x \in ℝ,

das die Gleichung erfüllt !

Bei der Berechnung Wurzeln mit negativen Radikanden einfach weglassen geht natürlich nicht ! :-)
Weglassen ist keine Äquivalenzumformung.

mfg

sarose

10:43 Uhr, 08.07.2010

Ich habe die Aufgabe auch mal von Hand gerechnet. Ich bekomme auch eine negative Wurzel. Ich nehme man an du rechnest im Zahlenbereich der reellen Zahlen

ℝ

. Hier gibt es keine Lösung. Das heißt, es gibt keine Schnittpunkte mit der x-Achse. Die Funktion verläuft also oberhalb der x-Achse.
Rechnest du im Zahlenbereich der komplexen Zahlen C gibt es allerdings eine Lösung. Die Lösung hier lautet

x_{1, 2} = 2.57 \pm 13.15 i

Anne-23 aktiv_icon

14:35 Uhr, 08.07.2010

Dankeschön!

Reelle Zahlen reichen mir schon voll und ganz.

Also wenn unter der Wurzel etwas negatives rauskommt, ist die Lösungsmenge einfach leer und ich kann den Wurzel"kram" nicht einfach weglassen.

Prima, dann weiß ich ja jetzt bescheid. Vielen Dank!

Anne-23 aktiv_icon

12:37 Uhr, 31.07.2010

Ich habe diese Aufgabe jetzt ein paar Tage in der Schublade gelassen und jetzt nochmal gerechnet. Oben hat auch schon mal jemand eine Lösung geschrieben, aber ich kann mit diesem i nix anfangen. Hab ich jetzt endlich richtig gerechnet?

Shipwater aktiv_icon

13:31 Uhr, 31.07.2010

\frac{2 x - 4}{8 x - 16} - \frac{5 x + 6}{6 x - 12} + \frac{7 x - 6}{6 x - 12} = \frac{x - 30}{2 x^{2} - 4 x}

\frac{2 (x - 2)}{8 (x - 2)} - \frac{5 x + 6}{6 (x - 2)} + \frac{7 x - 6}{6 (x - 2)} = \frac{x - 30}{2 x (x - 2)}

\Rightarrow D = ℝ

{

0; 2}

Multiplikation mit "Hauptnenner"

12 x (x - 2)

3 (x - 2) x - 2 (5 x + 6) x + 2 (7 x - 6) x = 6 (x - 30)

3 x^{2} - 6 x - 10 x^{2} - 12 x + 14 x^{2} - 12 x = 6 x - 180

7 x^{2} - 36 x + 180 = 0

x^{2} - \frac{36}{7} x + \frac{180}{7} = 0

PQ-Formel:

x_{1,2} = \frac{18}{7} \pm \sqrt{\frac{324}{49} - \frac{180}{7}}

x_{1,2} = \frac{18}{7} \pm \sqrt{\frac{324}{49} - \frac{1260}{49}}

x_{1,2} = \frac{18}{7} \pm \sqrt{\frac{324 - 1260}{49}}

x_{1,2} = \frac{18}{7} \pm \frac{\sqrt{- 936}}{7}

\Rightarrow

Keine reelle Lösung aufgrund der negativen Zahl unter der Wurzel

\Rightarrow L = {}

Wenn komplexe Lösungen gesucht sind:

x_{1,2} = \frac{18}{7} \pm \frac{\sqrt{- 936}}{7}

x_{1,2} = \frac{18}{7} \pm \frac{\sqrt{936} \cdot \sqrt{- 1}}{7}

x_{1,2} = \frac{18}{7} \pm \frac{6 \sqrt{26} i}{7}

x_{1,2} = \frac{18 \pm 6 \sqrt{26} i}{7}

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